GATE CS Mock 2018 | 第 62 题

这是 GATE CS Mock 2018 的第 62 题，题目要求编写一个近似值算法，用于计算 $e^x$ 的值。

题目描述

已知 $e^x$ 的值可以通过以下无穷级数进行计算：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

令 $S$ 表示上述级数的部分和，$S_k = \sum_{n=0}^{k} \frac{x^n}{n!}$，且 $e^x \approx S_k$。

编写一个函数来计算 $S_k$ 的值，该函数接受两个参数 $x$ 和 $k$，并在不使用阶乘函数的情况下返回 $S_k$ 的近似值。

解法

我们可以使用幂级数展开来近似计算 $e^x$ 的值。幂级数展开是指将函数表示为其任意点的无限项幂级数的形式，如 $e^x$：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

我们可以通过计算级数的有限项来近似计算 $e^x$ 的值。这里，我们将 $S_k$ 表示为级数的前 $k$ 项的和：

$$S_k = \sum_{n=0}^{k} \frac{x^n}{n!}$$

然而，直接计算 $S_k$ 的值需要使用阶乘函数，这并不是最优方法。为了避免使用阶乘函数，我们可以使用以下递归方式来计算 $S_k$ 的值：

$$\begin{aligned} S_0 &= 1 \ S_k &= 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^k}{k!} \ &= 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^{k-1}}{(k-1)!} + \frac{x^k}{k!} \ &= 1 + \frac{x}{1} S_{k-1} \end{aligned}$$

实际上，这是通过对级数的递归展开来计算 $S_k$ 的值。通过递归计算，我们可以避免使用阶乘函数，并有效地计算 $S_k$ 的近似值。

以下是 Python 代码实现：

def approximate_exponential(x, k):
    if k == 0:
        return 1
    else:
        return 1 + x / approximate_exponential(x, k-1)

总结

以上是 GATE CS Mock 2018 第 62 题的解法。通过递归幂级数展开，我们可以近似计算 $e^x$ 的值。此外，我们可以在不使用阶乘函数的情况下计算级数的前 $k$ 项的和。