9类RD Sharma解决方案–两个变量练习13.2中的第13章线性方程

简介

RD Sharma是印度著名的高中数学书籍系列，广受印度、巴基斯坦等南亚国家的学生喜爱。其中，9类RD Sharma解决方案提供了完整的解决方案，包括每一章的习题，非常适合需要进行其他语言复现以及数学演练的程序员使用。

本篇解决方案介绍的是9类RD Sharma解决方案中的两个变量练习13.2中的第13章线性方程的部分。

内容

线性方程

首先，我们来了解一下线性方程的基本概念。

线性方程即表达式形如 $ax + by + c = 0$ 的方程，其中 $a, b, c$ 为常数，$x, y$ 为变量，且 $a, b$ 不同时为0。

这种方程可以表示为 $y = mx + c$ 的形式，其中 $m = -\frac{a}{b}$，$c = -\frac{c}{b}$，即该方程可以被理解为平面上的一条直线。

两个变量的线性方程组

现在我们考虑两个变量的线性方程组，形如：

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \ \end{cases} $$

可以用矩阵表达式表示：

$$ \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} c_1 \ c_2 \end{bmatrix} $$

其解为：

$$ \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} c_1 \ c_2 \end{bmatrix} $$

不过如果 $|\begin{bmatrix}a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \ \end{bmatrix}|=0$，则无解或者有无穷多解。

两个变量的线性方程组的解法

对于二元方程组求解的方法，有如下几种：

列主元消元法

列主元消元法是一种高斯消元法的变种，它将选取变量的顺序和矩阵的分解次序联系起来，可以更快地求解线性方程组。

这个方法的主要思路是对矩阵进行初等变换，将其变为上三角矩阵，然后倒序回代即可得到方程组的解。

克拉默法则

克拉默法则是一种利用行列式求解方程组的方法，其中每一行都可以用行列式求值，而未知变量的值也可以用行列式求值。

这种方法的不足之处是当矩阵维度增加时，计算量会指数级增加，因此只适用于较小的矩阵。

矩阵求逆法

矩阵求逆法是指通过矩阵求逆的方法求解线性方程组的解，即：

$$ X = A^{-1}B $$

其中 $A$ 为系数矩阵， $B$ 为常数矩阵， $X$ 为未知变量的矩阵。

缺点是当矩阵的行列式为0时，不能使用该方法。

代码片段

以下是Python代码片段，用于实现列主元消元法解决两个变量的线性方程组：

import numpy as np

def eliminate(matrix):
    """
    列主元消元法，将矩阵变为上三角矩阵
    """
    row, column = matrix.shape
    for i in range(row - 1):
        # 计算列主元元素
        max_index = i + np.argmax(np.abs(matrix[i:, i]))
        # 判断是否需要交换行
        if max_index != i:
            matrix[[i, max_index]] = matrix[[max_index, i]]
        # 消元
        for j in range(i + 1, row):
            factor = matrix[j, i] / matrix[i, i]
            matrix[j, i:] = matrix[j, i:] - factor * matrix[i, i:]
    return matrix

def solve_equations(a, b):
    """
    解二元线性方程组
    """
    a = np.array(a)
    b = np.array(b).reshape(-1, 1)
    matrix = np.hstack([a, b])
    # 通过列主元消元法将矩阵变为上三角矩阵
    upper_matrix = eliminate(matrix)
    # 倒序回代
    n = a.shape[0]
    x = np.zeros((n, 1))
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        x[i] = upper_matrix[i, -1] / upper_matrix[i, i]
        for j in range(i):
            upper_matrix[j, -1] -= upper_matrix[j, i] * x[i]
    return x.flatten().tolist()

总结

以上就是针对两个变量的线性方程组，列主元消元法的求解方法，希望能对您有所帮助。当然，如果您有其他更好的方法，也欢迎与我们分享。