门| GATE-CS-2009 |问题14

这是GATE-CS-2009考试中的第14个问题，涉及到图论的最小生成树问题。本题目将探讨如何使用Kruskal算法解决最小生成树问题。

问题描述

给定一个带权无向连通图$G=(V,E)$，其中每条边$e\in E$都有一个非负权重$w(e)$。请设计一种算法找到$G$的最小生成树。

算法思路

Kruskal算法是一种经典的最小生成树算法。该算法维护一个集合$T$，初始时$T$为空集，然后将所有边按权重从小到大排序。按顺序考虑每条边，如果加入该边不会导致$T$不是一个树（也就是说，不会导致出现环），则加入该边。最后得到的$T$就是原图的最小生成树。

Kruskal算法的思路与并查集紧密相关，因为在加入每条边的时候需要对并查集进行操作。

具体来说，我们维护一个集合$S$，初始时$S$中每个元素都是一个独立的集合。当需要将两个元素合并为一个集合时，我们查找它们的根节点，然后将其中一个根节点的父节点设置为另一个根节点。这样做可以保证最终所有元素都属于同一个集合。

在使用Kruskal算法求最小生成树时，每条边加入之前都要进行一次根节点查找，以确保加入该边不会导致出现环。如果加入该边会导致出现环，则不加入。

代码实现

以下是Kruskal算法的实现，假设输入为一个带权无向连通图$G=(V,E)$，其中每条边$e\in E$都有一个非负权重$w(e)$。函数返回的是$G$的最小生成树。

def find(parent, i):
    while parent[i] != i:
        i = parent[i]
    return i

def union(parent, rank, x, y):
    xroot = find(parent, x)
    yroot = find(parent, y)

    if rank[xroot] < rank[yroot]:
        parent[xroot] = yroot
    elif rank[xroot] > rank[yroot]:
        parent[yroot] = xroot
    else :
        parent[yroot] = xroot
        rank[xroot] += 1
 
def kruskal(graph):
    result = []

    # 按边权从小到大排序
    graph = sorted(graph,key=lambda item: item[2])

    parent = []
    rank = []

    # 初始化并查集
    for node in range(len(graph)):
        parent.append(node)
        rank.append(0)

    i = 0
    e = 0
    while e < len(graph)-1:
        u,v,w = graph[i]
        i = i + 1
        x = find(parent, u)
        y = find(parent ,v)

        if x != y:
            e = e + 1    
            result.append([u, v, w])
            union(parent, rank, x, y)

    return result

性能分析

Kruskal算法的时间复杂度为$O(m\log n)$，其中$m$为边数，$n$为顶点数。排序边的时间复杂度为$O(m\log m)$，加入边的时间复杂度为$O(m\log n)$，并查集操作的时间复杂度为$O(m\log^*n)$。由于$m\ge n-1$，因此$O(m\log n)$便成为该算法的时间复杂度。实际上，该算法的运行时间主要取决于边的数量，因为排序和并查集操作的复杂度都不如加入边的复杂度高。另外，该算法的空间复杂度为$O(n)$，只需要维护并查集的父节点和秩即可。

总结

Kruskal算法是一种简单有效的最小生成树算法，在实际应用中得到了广泛使用。本文对该算法的基本思路进行了介绍，并给出了Python的实现代码。希望该算法能对读者在工程实践中解决实际问题提供帮助。