问题描述

给定一个n个节点的加权无向连通图G =（V，E），其中每个节点的度数至少为d。图G的最小生成树(MST)可以在O（nlogn）时间内构建，其中n = |V| 。

解决方案

由于该无向连通图G的每个节点的度数至少为d，因此图G具有至少n × d/2个边。因此，需要使用Kruskal的最小生成树算法来构建最小生成树。

Kruskal算法基于贪心策略，可以在O（mlogm）时间内构造无向加权连通图的最小生成树，其中m是边数。因此，在图G中实现Kruskal算法需要O（ndlognd）时间。

注意 ： 如果没有要求找到所有的生成树，那么该问题可以在O（n + mlogm）时间内解决。该算法基于Prim算法。该算法被称为Fibonacci堆实现的Prim算法。

关键码

Kruskal算法使用了并查集数据结构 ，因此必须了解此数据结构的常见操作：

• MAKE-SET(x): 将元素x设置为具有独立集合。
• FIND-SET(x): 返回包含元素x的集合的代表元素。
• UNION(x,y): 合并包含元素x和y的两个不相交集合。

并查集数据结构具有O（1）时间复杂度的时间。因此，Kruskal算法中的每个步骤的时间复杂度均为O（1）。

参考文献：

• https://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%27s_algorithm
• https://en.wikipedia.org/wiki/Disjoint-set_data_structure
• https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_heap