门 | GATE-CS-2001 |问题 13

这是一道2001年GATE计算机科学考试的问题，考察程序员对递归和数据结构的理解和应用能力。

题目描述：

一扇门上有n个锁孔，每个锁孔有以下两个状态之一：锁上或未锁。有m个钥匙，每个钥匙可以打开一些锁孔，但不一定打开所有的锁孔。问能否用这些钥匙打开所有的锁孔。

你需要设计一个算法来解决这个问题。具体地，你需要实现以下两个函数：

1. bool canUnlockAll(List<List<Integer>> keyLists) - 给定一个包含钥匙列表的列表，该函数应当判断门是否能被打开。
2. List<Integer> getShortestPath(List<List<Integer>> keyLists) - 给定一个包含钥匙列表的列表，该函数应返回打开所有锁孔的最短钥匙序列，或者返回空列表，如果门不能被打开。

其中，List<List<Integer>> keyLists是一个大小为n的列表，钥匙列表keyLists[i]表示第i个钥匙能够打开哪些锁孔。每个钥匙的编号从0到m-1，每个锁孔的编号从0到n-1。

算法设计

为了解决这个问题，我们需要从门的状态和钥匙列表入手。对于门的状态，我们可以用一个长度为n的数组表示，数组的每个元素为0或1，0表示该锁孔被锁上，1表示该锁孔已被打开。对于钥匙列表，我们可以使用一个二维列表表示，即列表中的每一个元素也是一个列表，表示第i把钥匙可以打开哪些锁孔。

要实现canUnlockAll()函数，我们需要使用一个递归函数来检查门是否能被打开。我们可以定义一个递归函数canUnlockAllRecursive()，该函数有以下参数：

• keyLists - 钥匙列表。
• lockStatus - 门的状态。
• currentKey - 当前掌握的钥匙。
• visited - 一个数组，表示已经尝试过哪些锁孔。

递归函数的实现如下：

def canUnlockAllRecursive(keyLists, lockStatus, currentKey, visited):
    # 标记当前锁孔已被尝试过
    visited[currentKey] = True
    # 如果当前钥匙可以打开所有锁孔，返回True
    if all(lockStatus):
        return True
    # 遍历当前钥匙能够打开的锁孔
    for lock in keyLists[currentKey]:
        # 如果当前锁孔没有被尝试过
        if not visited[lock]:
            # 打开当前锁孔
            lockStatus[lock] = 1
            # 尝试使用钥匙打开其他锁孔
            if canUnlockAllRecursive(keyLists, lockStatus, lock, visited):
                return True
            # 如果其他钥匙都不能打开门，那么当前钥匙也不能打开门
            lockStatus[lock] = 0

    return False

canUnlockAll()函数非常简单，只需要调用canUnlockAllRecursive()函数，并返回其返回值即可。

def canUnlockAll(keyLists):
    lockStatus = [0] * len(keyLists)
    lockStatus[0] = 1
    visited = [False] * len(keyLists)
    return canUnlockAllRecursive(keyLists, lockStatus, 0, visited)

要实现getShortestPath()函数，我们可以使用广度优先搜索算法（BFS），从所有能够打开的锁孔出发，逐层遍历每个锁孔能够打开的锁孔，直到找到所有能够打开的锁孔。我们可以使用一个队列来存储需要遍历的锁孔，使用一个字典来存储每个锁孔的前驱是哪个，最后通过前驱信息，构造出能够打开所有锁孔的最短钥匙序列。

import queue


def getShortestPath(keyLists):
    # 使用BFS遍历所有能够打开的锁孔
    q = queue.Queue()
    q.put(0)
    visited = [False] * len(keyLists)
    visited[0] = True
    predecessor = {}
    while not q.empty():
        currentLock = q.get()
        for key in keyLists[currentLock]:
            if not visited[key]:
                predecessor[key] = currentLock
                visited[key] = True
                q.put(key)

    # 如果不能打开所有锁孔，返回空列表
    if not all(visited):
        return []

    # 根据前驱信息构造出能够打开所有锁孔的最短钥匙序列
    shortestPath = [len(predecessor)-1]
    currentLock = len(predecessor)-1
    while currentLock in predecessor:
        shortestPath.insert(0, predecessor[currentLock])
        currentLock = predecessor[currentLock]

    return shortestPath

总结

这道题目考察了程序员对递归和数据结构（队列和字典）的理解和应用能力。通过实现canUnlockAll()和getShortestPath()函数，我们不仅完成了题目要求，还加深了对递归和数据结构的理解和掌握。