GATE-CS-2005 | 第 41 题

这是一个针对于程序员的问题，主要考察对于数据结构和算法的掌握程度。对于本题，我们将介绍以下内容：

• 问题描述
• 输入/输出格式
• 解题思路
• 代码实现

问题描述

给定一个长度为N的整数数组，设其为A[1..N]。定义"局部逆序对"指满足1 <= i < j <= N，并且有 i <= k < j，使得 A[i] > A[k] > A[j]（即A[k]在A[i]和A[j]之间）。确定A中局部逆序对的个数。

例如，在数组{7, 5, 6, 4}中，有两个局部逆序对：(7, 5, 6) 和 (7, 6, 4)。

输入/输出格式

输入的第一行充当数组长度N的标志，第二行为N个整数，分别代表数组的元素，均为正整数。输出为一个表示局部逆序对个数的整数。

解题思路

对于这个问题，我们可以采用归并排序的思路来解决。归并排序就是在不停地将数组分成两半，直到不能再分的时候，再将左右两半进行排序。而在排序过程中，我们可以通过比较左右两边数组的元素大小来统计逆序对的个数。因为：当左右两边数组都是有序的时候，如果左边数组的第i个元素大于右边数组的第j个元素，那么左边剩余的i+1~mid个元素也会大于右边第j个元素，因为左右两边是有序的，所以此时右边数组中j左边的元素都小于左边i+1~mid之间的元素，因此左边第i到mid个元素都可与右边第j个元素组成逆序对。我们可以对归并排序过程中的左右两半数组求出逆序对的个数，然后将左右两部分合并并再次求逆序对数量即可。

代码实现

下面是使用Python3对于本题的实现代码：

def merge_sort(arr):
    if len(arr) > 1:
        mid = len(arr) // 2
        left_half = arr[:mid]
        right_half = arr[mid:]
        left_inversions = merge_sort(left_half)
        right_inversions = merge_sort(right_half)
        i = j = k = 0
        inversions = left_inversions + right_inversions
        while i < len(left_half) and j < len(right_half):
            if left_half[i] <= right_half[j]:
                arr[k] = left_half[i]
                i += 1
            else:
                arr[k] = right_half[j]
                j += 1
                inversions += len(left_half) - i
            k += 1
        while i < len(left_half):
            arr[k] = left_half[i]
            i += 1
            k += 1
        while j < len(right_half):
            arr[k] = right_half[j]
            j += 1
            k += 1
        return inversions
    else:
        return 0

n = int(input())
arr = list(map(int, input().split()))

inversions = merge_sort(arr)

print(inversions)

在这个实现中，我们先判断了数组是否可以继续分割，如果可以继续分割，则将数组拆分为左右两半进行排序。然后我们通过比较和计数来确定逆序对，最后将左右两部分数组合并并返回逆序对数量。可以看到，在这个实现中只需一个归并排序就可以求出逆序对，因此时间复杂度为O(nlogn)。