门 | GATE-CS-2009 |问题17

这是Gate CS 2009问题17题的解答，涉及到递归和动态规划等知识点。此题的主要目的是寻找一条从起点到终点的最短路径。

问题描述

有一个大小为$N\times N$ 的迷宫，迷宫中有一些门可以跨越。每个门有一个升序排列的数字列表，表示可以经过该门时所需的最小“力量值”。力量值是一个正整数，表示以人物当前的状态能够穿越门的最小值。每个房间都有一定的初始力量值，人物只有当其力量值大于或等于门的力量值时才能通过门离开房间。 如下图所示，从初始位置(0, 0)出发，要到达目标位置(N-1, N-1)。在整个迷宫中，除了(0, 0)和(N-1, N-1)外所有的位置都包括了门和初始刻度值, 他们的位置标记是(x,y,force)。此外，从左下角的位置(x, y)可以到达上方和右方的位置(x+1, y)和(x, y+1)。

数据结构:

class Point:
    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y
        self.force = 0
class Door:
    def __init__(self, name, force):
        self.name = name
        self.force = force

解答过程

这道题目我们可以使用递归来进行求解，但是这样做的时间复杂度比较高。我们可以考虑使用动态规划来优化递归算法。

步骤如下：

1. 定义一个二维数组最小刻度值，用于存储从起点到当前位置的最小刻度值。
2. 将起点刻度值设置为初始刻度值，标记为已访问过。
3. 从起点开始进行广度优先搜索，并记录到每个位置的最小刻度值。
4. 如果到达一个门，则需要检查是否满足能够通过门的条件。如果满足，则继续递归广度优先搜索。如果不满足，则返回。
5. 在搜索到达目标位置时，判断到达该位置所需的刻度值是否小于当前最小刻度值，如果是，则设置最小刻度值为到达该位置所需的刻度值。

代码实现

INF = 10**9
dirs = [(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)]

def bfs(maze, start, end, m, n):
    visited = [[False] * n for i in range(m)]
    force = [[INF] * n for i in range(m)]
    force[start.x][start.y] = start.force

    q = [start]

    while q:
        curr = q.pop(0)
        visited[curr.x][curr.y] = True

        for dx, dy in dirs:
            nx, ny = curr.x + dx, curr.y + dy

            if nx < 0 or nx >= m or ny < 0 or ny >= n:
                continue

            if visited[nx][ny]:
                continue

            if maze[nx][ny] == 'X':
                continue

            new_force = max(curr.force, force[curr.x][curr.y])

            if maze[nx][ny].force > new_force:
                continue

            force[nx][ny] = new_force
            q.append(Point(nx, ny))
    
            if nx == end.x and ny == end.y:
                return force[end.x][end.y]

    return -1

在上面的代码中，变量force表示到当前位置所需的最小刻度值。我们首先将起点的刻度值设置为该点的初始刻度值。队列q用于存储需要搜索的位置，visited用于标记位置是否被访问过。我们使用广度优先搜索遍历整个迷宫，从而得到最短路径并记录到force数组中。

总结

本题解通过递归和动态规划的方法分别给出了解决问题的思路。使用动态规划算法可以大大提高计算的效率。同时，在实际应用中，我们可以在搜索的过程中尝试进行一些剪枝操作，使搜索的时间更加高效。