门| GATE-CS-2009 |问题16

该问题是关于组合逻辑门的问题。

问题描述

假设有4个输入变量$x_1, x_2, x_3, x_4$和3个输出变量$y_1, y_2, y_3$。它们之间的关系由以下布尔表达式给出：

$y_1 = x_1 \overline{x_2} + \overline{x_1} x_3$

$y_2 = \overline{x_1} x_3 + x_2 \overline{x_3}$

$y_3 = x_1 \overline{x_2} + \overline{x_1} x_3 + x_2 \overline{x_3}$

其中$\overline{x_i}$表示$x_i$的补。

根据输入变量的可能取值，计算输出变量的最小和最大可能的取值。

解决方案

为了找到输出变量的最小和最大可能取值，我们可以对每个输出变量都建立一个真值表，并根据输入变量的可能取值计算出每个输出变量的可能取值。以下是每个输出变量的真值表：

| $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $x_4$ | $y_1$ | |-------|-------|-------|-------|-------| | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |

| $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $x_4$ | $y_2$ | |-------|-------|-------|-------|-------| | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |

| $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $x_4$ | $y_3$ | |-------|-------|-------|-------|-------| | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |

可以看到，在一个真值表中，输出变量可能的最小值和最大值分别对应真值表中包含1的最小和最大的行。例如，在$y_1$的真值表中，$y_1$的最小可能值为0（第一行），最大可能值为1（第三个到第六个行）。

答案

| 变量 | 可能的最小值 | 可能的最大值 | |--------|--------------|--------------| | $y_1$ | 0 | 1 | | $y_2$ | 0 | 1 | | $y_3$ | 0 | 1 |

以上是每个输出变量可能的最小和最大值。