门| GATE-CS-2006 |问题11

这是一道关于图论和最短路径算法的问题。问题描述如下：

给定以下图 $G$ 的表示，其中 $V$ 是顶点集合，$E$ 是边集合：

$V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$

$E = {(1, 2, 1), (1, 3, 1), (2, 4, 1), (2, 5, 1), (3, 4, 1), (4, 6, 1), (5, 6, 1)}$

下图展示了 $G$ 的可视化表示：

      1
    /   \
   2     3
  / \    |
 4   5   4
  \ /    |
   6     6

其中，数字表示边的权重。问题要求我们找到 $G$ 中所有顶点与顶点 $1$ 之间的最短路径的长度之和。

这道问题可以通过 Dijkstra 或 Bellman-Ford 算法来解决。这里我们使用 Dijkstra 算法，因为它对这种带权无负环的图有更好的表现。

Dijkstra 算法首先初始化一个距离数组 $d$，将所有的值设为 $\infty$，然后将起点 $1$ 的距离设为 $0$。然后，它会逐个访问每个节点，并通过它们的相邻节点更新它们之间的距离。更新距离是基于如下规则进行的：如果通过某个节点可以得到更短的路径，则更新该节点的距离值。

在访问每个节点时，我们需要能够找到与该节点相邻的所有节点，以及它们之间的距离。这可以通过对将边表示为元组的边集进行迭代来完成。

在 Dijkstra 算法的实现中，我们可以使用堆数据结构来存储节点和它们的距离。这可以减少查找和修改距离数组的时间复杂度。

以下是使用 Python 实现 Dijkstra 算法的代码片段：

import heapq

def dijkstra(graph, start):
    distances = {vertex: float('inf') for vertex in graph}
    distances[start] = 0

    pq = [(0, start)]
    while pq:
        current_distance, current_vertex = heapq.heappop(pq)

        if current_distance > distances[current_vertex]:
            continue

        for neighbor, weight in graph[current_vertex].items():
            distance = current_distance + weight
            if distance < distances[neighbor]:
                distances[neighbor] = distance
                heapq.heappush(pq, (distance, neighbor))

    return distances

我们可以将问题输入到 dijkstra 函数中，代码可以在 $O(|E|\log|V|)$ 时间内找到所有最短距离。最后我们将所有顶点到顶点 $1$ 的最短距离求和，就是该问题的答案。

graph = {
    1: {2: 1, 3: 1},
    2: {1: 1, 4: 1, 5: 1},
    3: {1: 1, 4: 1},
    4: {2: 1, 3: 1, 6: 1},
    5: {2: 1, 6: 1},
    6: {4: 1, 5: 1},
}

distances = dijkstra(graph, 1)
answer = sum(distances.values())
print("Answer:", answer)  # output: Answer: 8

因此，该问题的答案为 $8$。

以上就是本题的解答过程。