题目概述

本题目为2006年计算机科学和工程硕士入学考试的题目3。题目要求实现一个网络流算法模板，可以用于解决以指定的源点和汇点为起点和终点的最大流问题。

算法介绍

本算法基于网络流算法的思想，使用Edmonds-Karp算法实现。该算法使用广度优先搜索来寻找增广路径，并通过不断的增加流量来求解最大流。

算法步骤如下：

1. 从源点开始进行广度优先搜索，找到一条从源点到汇点的路径；
2. 在找到的路径上，找到可以增加流量的路径最小值，该值即为当前路径最大流；
3. 将该最大流累加到网络流上，并减去该路径的流量；
4. 重复以上两个步骤，直到无法继续找到增广路径为止。

代码实现

以下为算法的代码实现：

def max_flow(graph, source, sink):
    """
    Edmonds-Karp algorithm to get the maximum flow.
    :param graph: The graph represented by adjacency matrix.
    :param source: The source node of the graph.
    :param sink: The target node of the graph.
    :return: The maximum flow of the graph.
    """
    n = len(graph)
    flow = 0
    parent = [-1] * n

    while True:
        queue = [source]
        visited = [False] * n
        visited[source] = True

        while queue:
            u = queue.pop(0)

            for v in range(n):
                if visited[v] is False and graph[u][v] > 0:
                    queue.append(v)
                    visited[v] = True
                    parent[v] = u

                    if v == sink:
                        path_flow = float("Inf")
                        s = sink
                        while s != source:
                            path_flow = min(path_flow, graph[parent[s]][s])
                            s = parent[s]

                        flow += path_flow
                        v = sink

                        while v != source:
                            u = parent[v]
                            graph[u][v] -= path_flow
                            graph[v][u] += path_flow
                            v = parent[v]

                        break

        if not visited[sink]:
            break

    return flow

其中，graph为用邻接矩阵表示的图，source和sink为源点和汇点。函数返回值为最大流。

参考资料

• 维基百科：最大流问题
• 最大流问题算法详解 - Edmonds-Karp算法