门 | GATE CS 2008 | 问题10

本文介绍了 GATE CS 2008 考试中的问题10：门。我们将重点关注这道问题的要求、输入和输出以及解决办法，并提供示例代码和讨论其复杂度和优化的思考。

问题要求

给定一个 $N$ 行 $M$ 列的二维矩阵，其中每个元素为一个布尔值。如果一个元素为 1，则表示这是一个门；如果一个元素为 0，则表示这是一段路。

你的任务是找到最短的路径，从左上角的位置到右下角的位置，并且这个路径必须经过所有的门。你可以从上、下、左、右四个方向行走，但不能斜向行走。

请写出一个程序来解决这个问题。

输入输出格式

输入表示为一个 $N$ 行 $M$ 列的矩阵，其中 $N$ 和 $M$ 都是正整数。输出表示为一个整数，为最短路径的长度，如果无法到达所有门，则返回 -1。

解决办法

这是一个典型的图论问题，我们可以采用广度优先搜索或者迪杰斯特拉算法来解决。

我们将所有门的位置用一个列表 doors 保存下来，并统计门的数量 num_doors。当我们搜索到一个门时，就将这个门从列表中删除，并将 num_doors 减一。当 num_doors 等于零时，说明所有门都已经找到并且到达，此时我们就可以返回最短路径长度了。

为了避免重复搜索，我们还需要用一个三维布尔数组 visited 来记录每个位置是否已经被搜索过。我们可以将数组初始化为全 False。

我们将起点和门的位置都视作一个节点，而两个节点之间的边权重为它们之间的曼哈顿距离，即 abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2)，其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 是两个节点的坐标。这个距离的计算可以用一个小技巧：我们记录每个节点的位置 (x, y) 时，同时也记录它的编号 i，使得 x * M + y = i，这样我们就可以通过计算两个节点的编号来快速计算它们之间的距离。

接下来，我们将起点加入队列 q 中，并将其标记为 visited。每轮循环，我们都将队列中所有新加入的位置标记为 visited，并将这些位置周围未被搜索过的位置加入队列中。计算两个节点之间的距离和更新到达一个门时更新列表 doors 和 num_doors 的操作都可以在搜索过程中完成。

最后，当队列为空时，我们仍然没有找到所有门，这时我们就应该返回 -1。

代码示例

这里是一个 Python 示例代码：

def shortest_path(matrix):
    N, M = len(matrix), len(matrix[0])
    doors = []
    num_doors = 0
    start = None
    for i in range(N):
        for j in range(M):
            if matrix[i][j]:
                doors.append(i * M + j)
                num_doors += 1
            elif i == 0 and j == 0:
                start = i * M + j
    if start is None:
        return -1
    visited = [[[False for _ in range(num_doors + 1)] for _ in range(M)] for _ in range(N)]
    q = [(start, num_doors)]
    visited[start // M][start % M][num_doors] = True
    dist = 0
    while q:
        for _ in range(len(q)):
            pos, doors_left = q.pop(0)
            if doors_left == 0:
                return dist
            x, y = pos // M, pos % M
            for dx, dy in ((-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)):
                nx, ny = x + dx, y + dy
                if 0 <= nx < N and 0 <= ny < M and not visited[nx][ny][doors_left]:
                    if matrix[nx][ny]:
                        if nx * M + ny in doors:
                            doors.remove(nx * M + ny)
                            doors_left -= 1
                        new_doors_left = doors_left
                    else:
                        new_doors_left = doors_left
                    q.append((nx * M + ny, new_doors_left))
                    visited[nx][ny][new_doors_left] = True
        dist += 1
    return -1

这个算法的时间复杂度为 $O(NMk)$，其中 $k$ 是门的数量。空间复杂度为 $O(NMk)$。

思考与总结

这个问题通过构造节点和边的方式，把二维矩阵转化成了一张图。这个思路非常类似于一些经典算法，比如迪杰斯特拉算法和 A* 算法。通过把问题抽象成图论问题，我们可以用经典算法来解决它。

然而，这个问题也有一些特殊之处。它要求我们找到一条路线，使得路线经过所有门。这个要求导致我们不能简单地按照最短路径去搜索。我们需要把这个要求嵌入到搜索过程中，通过动态地调整搜索顺序来确保找到所有门。这个思路非常类似于一些启发式搜索算法，比如 A* 算法。

综合来看，这道题还是非常有意思的，能够锻炼我们对于算法的理解和综合运用能力。