距离公式和截面公式 – 三维几何

简介

在三维几何中，距离公式和截面公式是计算点到平面、线段到平面之间的距离的常用公式。程序员在进行三维几何计算和图形渲染时经常会遇到这些公式的应用。

本文介绍了距离公式和截面公式的推导和应用场景，并附带代码示例，以帮助程序员更好地理解和应用这些公式。

距离公式

点到平面的距离

假设有一个平面方程为 ax + by + cz + d = 0，其中 (x, y, z) 是点的坐标，公式 D = |ax + by + cz + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) 可以计算点到平面的距离。

以下是一个示例代码片段，用于计算点 (x, y, z) 到平面 ax + by + cz + d = 0 的距离。

import math

def distance_to_plane(a, b, c, d, x, y, z):
    distance = abs(a*x + b*y + c*z + d) / math.sqrt(a**2 + b**2 + c**2)
    return distance

a = 1
b = 2
c = 3
d = -6
x = 4
y = 5
z = -2

distance = distance_to_plane(a, b, c, d, x, y, z)
print("点到平面的距离为:", distance)

线段到平面的距离

同样假设有一个平面方程为 ax + by + cz + d = 0，现在考虑一个线段，由两个点 (x1, y1, z1) 和 (x2, y2, z2) 组成。公式 D = |ax1 + by1 + cz1 + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) 可以计算线段到平面的距离。

以下是一个示例代码片段，用于计算线段 (x1, y1, z1) 到 (x2, y2, z2) 与平面 ax + by + cz + d = 0 之间的距离。

import math

def distance_to_plane(a, b, c, d, x1, y1, z1, x2, y2, z2):
    numerator = abs(a*x1 + b*y1 + c*z1 + d)
    denominator = math.sqrt(a**2 + b**2 + c**2)
    distance = numerator / denominator
    return distance

a = 1
b = 2
c = 3
d = -6
x1 = 1
y1 = 2
z1 = 3
x2 = 4
y2 = 5
z2 = 6

distance = distance_to_plane(a, b, c, d, x1, y1, z1, x2, y2, z2)
print("线段到平面的距离为:", distance)

截面公式

线段与平面的截面点

假设一个平面方程为 ax + by + cz + d = 0，并给定一个线段由两个点 (x1, y1, z1) 和 (x2, y2, z2) 组成。如果线段与平面相交，可以通过截面公式计算出截面点 (x, y, z) 的坐标。

公式中，截面点坐标计算如下：

t = -(ax1 + by1 + cz1 + d) / (a(x2-x1) + b(y2-y1) + c(z2-z1))
x = x1 + t(x2-x1)
y = y1 + t(y2-y1)
z = z1 + t(z2-z1)

以下是一个示例代码片段，用于计算线段 (x1, y1, z1) 到 (x2, y2, z2) 与平面 ax + by + cz + d = 0 的截面点。

def intersection_point(a, b, c, d, x1, y1, z1, x2, y2, z2):
    nominator = -(a*x1 + b*y1 + c*z1 + d)
    denominator = a*(x2-x1) + b*(y2-y1) + c*(z2-z1)
    t = nominator / denominator
    x = x1 + t * (x2-x1)
    y = y1 + t * (y2-y1)
    z = z1 + t * (z2-z1)
    return x, y, z

a = 1
b = 2
c = 3
d = -6
x1 = 1
y1 = 2
z1 = 3
x2 = 4
y2 = 5
z2 = 6

x, y, z = intersection_point(a, b, c, d, x1, y1, z1, x2, y2, z2)
print("截面点的坐标:", x, y, z)

结论

本文介绍了三维几何中的距离公式和截面公式，分别用于计算点到平面的距离和线段与平面的距离、截面点。示例代码片段展示了这些公式的具体应用，并帮助程序员在开发过程中更好地理解和应用这些公式。对于需要进行三维几何计算和图形渲染的程序员来说，掌握这些公式将大有帮助。