坐标几何公式

在计算机图形学中，坐标几何公式用于计算两点之间的距离、两直线之间的夹角、两向量之间的点积和叉积等常用的计算。坐标几何公式是一个程序员在开发计算机图形学相关应用时必须掌握和使用的知识点。

坐标系

在二维坐标系中，我们用二元组 $(x, y)$ 表示一个点的位置，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示该点在水平和竖直方向上的投影长度。在三维坐标系中，我们用三元组 $(x, y, z)$ 表示一个点的位置，其中 $x$、$y$ 和 $z$ 分别表示该点在三个方向上的投影长度。

在直角坐标系中，通常我们使用平面直角坐标系（也叫笛卡尔坐标系）和空间直角坐标系（也叫笛卡尔空间）。在平面直角坐标系中，一般规定 $x$ 轴代表横坐标，向右为正方向；$y$ 轴代表纵坐标，向上为正方向。而在空间直角坐标系中，一般规定 $x$、$y$、$z$ 三个轴组合成一个右手系，即 $x$ 轴向右，$y$ 轴向上，$z$ 轴指向自身发出的方向。

坐标几何公式

在计算机图形学中，我们常用的坐标几何公式有以下几种：

两点之间的距离公式

两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之间的距离公式为：

$$ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $$

在三维空间中，两点 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$ 之间的距离公式为：

$$ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} $$

两直线之间的夹角公式

假设两条直线 $L_1$ 和 $L_2$ 分别由两个向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 表示，则 $L_1$ 和 $L_2$ 之间的夹角 $\theta$ 的余弦值可以通过以下公式计算：

$$ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|} $$

其中，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ 表示向量的点积，$\left|\overrightarrow{a}\right|$ 和 $\left|\overrightarrow{b}\right|$ 分别表示向量的模长。

两向量之间的点积和叉积

两个向量 $\overrightarrow{a}=(x_1, y_1, z_1)$ 和 $\overrightarrow{b}=(x_2, y_2, z_2)$ 的点积为：

$$ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 $$

而两个向量的叉积为：

$$ \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = \begin{bmatrix}y_1z_2-z_1y_2\z_1x_2-x_1z_2\x_1y_2-y_1x_2\end{bmatrix} $$

结语

坐标几何公式是计算机图形学中非常重要的一个知识点。希望通过本文的介绍，程序员们能够对坐标系和坐标几何公式有更深入的了解。