门 | GATE CS 2019 | 问题 14

这是一个关于排序算法的问题，要求我们自行实现归并排序并分析其时间复杂度。

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组和一个整数 k，需要实现一个算法，该算法使用归并排序对该数组进行排序，然后返回第 k 小的元素。

实现思路

归并排序是一种稳定的排序算法，时间复杂度为 O(nlogn)。它采用分治法的思想，将待排序数组分为左右两部分，递归地对左右两部分分别进行排序，最后将它们归并为一个有序数组。

对于本题，需要找到排序后第 k 小的元素，我们可以在归并排序的过程中维护一个计数器，表示当前已经处理的元素个数。当计数器等于 k 时，直接返回当前元素即可。

实现代码如下：

def merge_sort(arr, k):
    def merge(left, right):
        res = []
        i, j = 0, 0
        while i < len(left) and j < len(right):
            if left[i] < right[j]:
                res.append(left[i])
                i += 1
            else:
                res.append(right[j])
                j += 1
        res += left[i:]
        res += right[j:]
        return res

    def sort(arr, count):
        if len(arr) == 1:
            return arr[0]

        mid = len(arr) // 2
        left = sort(arr[:mid], count)
        right = sort(arr[mid:], count + mid)
        merged = merge(left, right)

        if count + len(merged) == k:
            return merged[-1]
        else:
            return merged

    res = sort(arr, 0)
    return res if type(res) == int else res[-1]

时间复杂度分析

归并排序的时间复杂度为 O(nlogn)。在本题中，我们需要找到排序后第 k 小的元素，而归并排序的过程中每个元素都会被比较一次，所以总时间复杂度为 O(nlogn + k)。

总结

本题考察了排序算法的实现和时间复杂度分析。归并排序是一种经典的排序算法，掌握其实现思路和时间复杂度分析对于程序员来说是非常重要的。