GATE CS 2019 | 问题 9

本文将为程序员介绍GATE CS 2019的问题9，并提供解决方案。

题目描述

有两个已排序的数组A和B，其大小分别为m和n。找到两个数组中的中位数。 要求时间复杂度为O(log(m+n))。

解决方案

要求在O(log(m+n))的时间内找到两个已排序数组的中位数，需要运用二分查找的思想。

具体的算法步骤如下：

1. 确定较小的数组，将其作为第一个参数。如果第一个参数较大，则交换它们以便数组a总是更小。这是因为二分查找小的数组会更容易一些。

2. 使用二分查找查找两个数组中的中位数。我们需要找到满足以下条件的i和j：

   • i + j = m – i + n – j (or: m – i + n – j + 1)

   • b[j-1] <= a[i] and a[i-1] <= b[j]

   其中m为数组A的长度，n为数组B的长度。这两个条件的意思是在i和j位置之前所有的元素的总数等于在i和j位置之后所有元素的总数。也就是说，在i和j位置之前的元素数量等于在它们后面的元素数量。

3. 如果满足上述两个条件，则中位数可以在位置i或j处找到。中位数将是Max（a [i-1]，b [j-1]）的最大值和Min（a [i]，b [j]）的最小值。

4. 如果条件2不满足，则偏移较小的数组的i以获得一种新的分配。调整的方法如下：

   • 如果b [j-1]>a [i]，则偏移i向右以增加它的值。

   • 如果a [i-1]>b [j]，则偏移i向左以减小它的值。

5. 重复步骤2-4，直到满足条件2。

6. 最终的中位数将是Max（a [i-1]，b [j-1]）的最大值和Min（a [i]，b [j]）的最小值。

下面是实现代码（使用C++编写）：

double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
    int m = nums1.size();
    int n = nums2.size();
    if (m > n) {
        return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
    }
    int iMin = 0, iMax = m, halfLen = (m + n + 1) / 2;
    while (iMin <= iMax) {
        int i = (iMin + iMax) / 2;
        int j = halfLen - i;
        if (i < iMax && nums2[j-1] > nums1[i]){
            iMin = i + 1;
        }
        else if (i > iMin && nums1[i-1] > nums2[j]) {
            iMax = i - 1;
        }
        else {
            int maxLeft = 0;
            if (i == 0) { maxLeft = nums2[j-1]; }
            else if (j == 0) { maxLeft = nums1[i-1]; }
            else { maxLeft = max(nums1[i-1], nums2[j-1]); }
            if ((m + n) % 2 == 1) { return maxLeft; }

            int minRight = 0;
            if (i == m) { minRight = nums2[j]; }
            else if (j == n) { minRight = nums1[i]; }
            else { minRight = min(nums2[j], nums1[i]); }

            return (maxLeft + minRight) / 2.0;
        }
    }
    return 0.0;
}

总结

以上就是寻找两个已排序数组中位数的解决方案，它的时间复杂度是O(log(m+n))。二分查找在这里是关键，它将搜索范围削减了一半，从而降低了时间复杂度。程序员可以按照以上步骤实现这个算法，并在实际运用中加以优化。