门 | GATE CS 2019 | 问题 1

这道题目是 GATE 计算机科学考试 2019 年的第一道题目。该题目主要考察了程序员对于数据结构的理解和数组的操作能力。

题目描述

给定一个有 $n$ 个整数的数组 $A$，以及两个整数 $i$ 和 $j$，你需要计算在 $[i, j]$ 的子数组中，所有元素的乘积之和。如果乘积是负数，则按照绝对值进行计算。例如，给定数组 $A = [1, -2, 3, -4, 5]$，那么 $i = 1$，$j = 3$ 的子数组为 $[-2, 3, -4]$，那么它们的乘积为 $|-2 \times 3 \times -4| = 24$，因此我们的输出为 $24$。

输入格式

• 第一行：一个整数 $n$，表示数组 $A$ 的长度。
• 第二行：包含 $n$ 个以空格分隔的整数，分别表示数组 $A$ 中的每个元素。
• 第三行：包含一个整数 $t$，表示测试用例的个数。
• 后面 $t$ 行：每行两个空格分隔的整数 $i$ 和 $j$，表示需要计算的子数组的左右边界。

输出格式

对于每个测试用例，输出一行一个整数，表示在给定子数组中所有元素的乘积之和。

样例

输入：

5
1 -2 3 -4 5
2
1 3
2 4

输出：

1
6

解题思路

根据题目要求，我们需要计算数组 $A$ 的子数组中，所有元素的乘积之和。因此，我们可以采用类似前缀和的思想，计算出所有子数组中每个数的出现次数，然后再根据每个数的符号，计算出它在子数组中的贡献。

具体来说，我们可以维护两个数组 $pos$ 和 $neg$，分别表示所有正数和负数的出现次数。假设我们要计算 $A$ 的子数组 $[i, j]$ 的乘积和，那么对于所有在 $A[i]$ 和 $A[j]$ 之间的数，我们可以分别通过 $pos$ 和 $neg$ 数组计算它们在所有子数组中的贡献。最后，我们将所有贡献相加即可得到答案。

代码实现

下面是本题的 Python 代码实现：

def calculate_product_sum(A, i, j):
    pos = [0] * len(A)
    neg = [0] * len(A)
    for k in range(i, j+1):
        if A[k] > 0:
            pos[k] = pos[k-1] + 1
            neg[k] = neg[k-1]
        elif A[k] < 0:
            pos[k] = neg[k-1]
            neg[k] = pos[k-1] + 1
        else:
            pos[k] = pos[k-1]
            neg[k] = neg[k-1]
    product_sum = 0
    for k in range(i, j):
        if A[k] > 0:
            product_sum += (pos[j] - pos[k]) * A[k] + (neg[j] - neg[k]) * abs(A[k])
        elif A[k] < 0:
            product_sum += (neg[j] - neg[k]) * A[k] + (pos[j] - pos[k]) * abs(A[k])
        else:
            product_sum += (pos[j] - pos[k]) * A[k]
    return product_sum


if __name__ == '__main__':
    n = int(input())
    A = list(map(int, input().split()))
    t = int(input())
    for i in range(t):
        i, j = map(int, input().split())
        print(calculate_product_sum(A, i-1, j-1))

上述代码中，我们首先定义了一个名为 calculate_product_sum 的函数，它的参数包括数组 A，以及需要计算的子数组的左右边界 $i$、$j$。函数中首先定义了两个数组 pos 和 neg，它们分别维护所有正数和负数的出现次数。接着，我们遍历 $A$ 中所有在 $[i, j]$ 之间的元素，计算出它们在所有子数组中的贡献。最后，我们将所有贡献相加，并返回结果。

在主函数中，我们首先读入输入数据，然后对于每个测试用例，调用 calculate_product_sum 函数计算结果，并将结果输出到标准输出流中。

总结

本题目主要考察了程序员对于数据结构的理解和数组的操作能力。在解题时，我们可以采用类似前缀和的思想，计算出所有子数组中每个数的出现次数，然后再根据每个数的符号，计算出它在子数组中的贡献。这是一道比较综合的题目，需要考虑到很多边界条件和特殊情况。因此，在解题时我们要仔细分析题目，尤其是需要注意负数的处理方式。