门 | GATE CS 2019 |问题 3

本文介绍了 GATE CS 2019 中的第三个问题，讨论了问题的要求和解决方案。问题涉及到生成给定大小的二叉树的所有可能形状的数量。以下是问题的描述和解决方案的详细步骤。

问题描述

给定一个正整数 n，表示二叉树节点的数量。您的任务是计算出具有 n 个节点的二叉树的所有可能形状的数量。形状是通过连接树节点的边来决定的。

给定的节点数量 n 取值范围是 0 到 30。

解决方案

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划来计算给定节点数量下的所有可能形状的数量。动态规划是一种通过将问题分解成重叠子问题，并利用以前计算的解来解决的方法。

我们可以定义一个大小为 n+1 的数组 dp[] 来保存计算结果，其中 dp[i] 表示 i 个节点的二叉树的所有可能形状的数量。初始时，我们将 dp[0] 设置为 1，因为空二叉树也是一种形状。

然后，我们可以使用以下循环计算 dp[i] 的值：

for i in range(1, n+1):
  for j in range(i):
    dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1]

在上述代码中，外部循环从 1 到 n 进行迭代，内部循环从 0 到 i-1 进行迭代。通过使用两个循环迭代，我们可以计算出 dp[i]，从而得到具有 i 个节点的二叉树的所有可能形状的数量。

最后，我们可以将 dp[n] 的值作为结果返回，它表示具有 n 个节点的二叉树的所有可能形状的数量。

示例代码

下面是一个用于计算具有给定节点数量的二叉树的所有可能形状数量的示例代码段：

def count_tree_shapes(n):
    dp = [0] * (n+1)
    dp[0] = 1

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i):
            dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1]

    return dp[n]

你可以使用任何编程语言来实现上述算法，只需按照相应语言的语法规则进行调整即可。

请注意，上面的代码仅显示了核心逻辑，实际实现中可能需要更多的输入验证和边界条件的处理。

总结

本文讨论了 GATE CS 2019 中的问题 3，并提供了一个基于动态规划的解决方案。我们通过使用 dp[] 数组来计算具有给定节点数量的二叉树的所有可能形状的数量。你可以按照上述步骤和示例代码来实现该算法，并得到正确的结果。希望本文对程序员在解决二叉树问题时有所帮助。