门 | GATE CS 2019 | 问题 9

这是 Gate CS 2019 中的问题 9。这个问题主要考察了二叉树和 AVL 树的知识。

题目描述

给定一个由 $n$ 个整数组成的数组 $A$。定义数组的“价值”是等于数组中不相邻元素的和。设计一个高效的动态规划算法，计算出 $A$ 的最大价值。

解题思路

可以使用动态规划来解决这个问题。$opt(i)$ 表示从 $A_1$ 到 $A_i$ 中最大的不相邻元素和。则可以得到递归式：

$$ opt(i) = \max{opt(j-2)+A_j, opt(j-1)} $$

其中 $j \leq i$。

时间复杂度为 $O(n)$。

代码实现

def max_value(A):
    n = len(A)
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return A[0]
    opt = [0] * n
    opt[0] = max(0, A[0])
    opt[1] = max(opt[0], A[1])
    for i in range(2, n):
        opt[i] = max(opt[i-1], A[i]+opt[i-2])
    return opt[n-1]

总结

本题主要考察了动态规划的思想和代码实现能力，通过对动态规划递归式的分析，我们可以得到简洁、高效的动态规划算法。