门(GATE-IT-2004) 问题 19

这是GATE-IT-2004的问题19。在这个问题中，您需要设计一个算法来检查一个有向无环图是否具有拓扑排序的顺序。

问题描述

一个“拓扑排序”的顺序是一个有向无环图的顶点的线性排序，使得对于任意指向顶点 v 的有向边 (u, v)，列表中 u 出现在 v 之前。

您需要编写一个算法来检查一个有向无环图是否具有拓扑排序的顺序。您需要使用以下 API 来构造有向无环图：

class Node:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.dependencies = []
        self.dependants = []

    def add_dependency(self, node):
        self.dependencies.append(node)
        node.dependants.append(self)

def is_topologically_sorted(node_list, test_sequence):
    pass

其中，Node 表示一个图中的节点。一个节点可以有零个或多个依赖项和被依赖项。每个节点都包含数据和指向前置依赖和后置依赖的引用列表。

add_dependency 方法用于向节点添加一个依赖。该方法会将被依赖的节点添加到该节点的依赖列表中，并将该节点添加到被依赖节点的依赖列表中。

is_topologically_sorted 函数用于测试一个节点列表 node_list 是否按照 test_sequence 顺序进行了拓扑排序。如果是，则返回 True；如果不是，则返回 False。

示例

以下是一个示例有向无环图，它具有拓扑排序顺序 1, 2, 3, 4, 5：

1 -> 2 -> 3
   ^    |  
   |    v  
   4 <- 5

以下是一个 Python 代码示例，用于检查具有不同顺序的有向无环图：

def test_is_topologically_sorted():
    nodes = [Node(i) for i in range(6)]
    nodes[1].add_dependency(nodes[0])
    nodes[2].add_dependency(nodes[1])
    nodes[3].add_dependency(nodes[1])
    nodes[5].add_dependency(nodes[3])
    nodes[5].add_dependency(nodes[4])
    assert is_topologically_sorted(nodes, [0, 1, 2, 3, 4, 5]) == False
    assert is_topologically_sorted(nodes, [0, 1, 3, 2, 4, 5]) == False
    assert is_topologically_sorted(nodes, [0, 1, 3, 2, 5, 4]) == True

解决方案

要解决这个问题，我们需要遍历拓扑排序的节点列表，并检查每个节点是否出现在其所有依赖项之前。在检查节点的依赖项时，我们将使用一个递归函数来遍历每个节点的依赖项。我们还将使用一个 boolean 类型的 visited 数组来跟踪每个节点是否已经被访问过。

请参阅以下 Python 代码示例，它展示了如何使用深度优先搜索 (DFS) 来检查有向无环图的拓扑排序：

def is_topologically_sorted(node_list, test_sequence):
    visited = [False] * len(node_list)
    for i, node in enumerate(node_list):
        if not visited[i]:
            visited[i] = True
            if not dfs(node.dependencies, visited, test_sequence):
                return False
            test_sequence.remove(node.data)
    return True

def dfs(dependencies, visited, test_sequence):
    for node in dependencies:
        if not visited[node.data]:
            visited[node.data] = True
            if not dfs(node.dependencies, visited, test_sequence):
                return False
            test_sequence.remove(node.data)
        elif node.data in test_sequence:
            return False
    return True

总结

本文介绍了如何设计一个检查有向无环图的拓扑排序的算法。我们使用了 DFS 来遍历节点，并跟踪是否出现在它的所有依赖项之前。我们还使用 visited 数组来跟踪每个节点是否已经被访问过。通过实现这个算法，我们可以确定一个有向无环图是否具有拓扑排序的顺序。