题目介绍

该题目为GATE-CS-2017(Set 2)的第10题，涉及到树的遍历和互质性的判断。当然，这里的树并不是指家庭生活中的树木，而是计算机科学中的树形结构。

题目描述

给定N个正整数和一棵以这些整数为关键字的二叉树，根节点为整数集合中的最小值。设计一个算法来计算此二叉树的高度。

但是，有一个限制：如果两个节点的关键字是互质的，则这些节点在树中是不相邻的。

解题思路

本题目需要解决两个问题：如何求解树高度和如何判断节点关键字是否互质。首先解决后者，即如何判断两个关键字是否互质的问题。

在数学上，如果两个数字的最大公约数为1，则这些数字是互质的。因此，可以借助欧几里得算法来计算两个数字的最大公约数。具体而言，该算法的实现如下：

function gcd(a, b)
    while b ≠ 0
        t := b
        b := a mod b
        a := t
    return a

其中，a mod b为a除以b的余数。当b为0时，gcd(a, b)的最终结果即为a。根据该算法，如果两个数字a和b的最大公约数为1，则a和b是互质的。

接下来，需要根据互质性限制构造一棵新的树。具体而言，可以通过在原树的基础上移除互质的节点来构造新树。注意到原树的根节点为整数集合中的最小值，因此我们无需判断根节点是否满足互质性要求。具体来说，我们可以通过递归的方式依次遍历左右子树，并通过判断节点间的互质性来确定是否应该移除该节点。

最后，需要求解构造出的树的高度。可以通过递归遍历构造出的树并记录当前子树的高度来实现。具体而言，可以先判断该子树是否为叶子节点，如果不是则分别递归遍历左右子树，计算出其高度，并返回该子树的最大高度再加上1（加1是因为需要算上当前节点）。如果是叶子节点，则返回节点高度1。

代码实现

以下为Python代码实现：

# 计算最大公约数
def gcd(a, b):
    while b != 0:
        t = b
        b = a % b
        a = t
    return a

# 构造新树
def construct_tree(root):
    if root is None:
        return None

    # 判断左子树
    root.left = construct_tree(root.left)
    if root.left is not None and gcd(root.left.data, root.data) != 1:
        root.left = None

    # 判断右子树
    root.right = construct_tree(root.right)
    if root.right is not None and gcd(root.right.data, root.data) != 1:
        root.right = None

    return root

# 计算树高度
def calculate_height(root):
    if root is None:
        return 0
    elif root.left is None and root.right is None:
        return 1
    else:
        left_height = calculate_height(root.left)
        right_height = calculate_height(root.right)
        return max(left_height, right_height) + 1

其中，root为树的根节点，data为节点关键字。在计算树高度时，需要注意加上当前节点高度1。