门 | GATE-CS-2017(Set 1)|问题15

这个问题要求我们找到图中的最短路径，并把该路径上的门添加到一个集合中。

问题描述

我们有一个大小为 $n \times n$ 的网格图，网格的每个单元格都是一个门或者墙壁。你从左上角出发，希望到达右下角，同时经过路径上的门。

图中有其他的门，但是你只需要经过某些门，不需要经过所有的门。

示例

假设 $n=4$，并且图中的集合为 $S = {1, 3}$。

########
#..#...#
#.#.#.#.#
#...#...#
########

在这个例子中，你需要到达右下角，同时经过门 1 和门 3。最短的路径是 $[(0, 0), (1, 1), (2, 2), (1, 3), (0, 4), (1, 5), (2, 4), (3, 3)]$，在这个路径上经过了门 1 和门 3。

解决方法

第一步：图形转换

首先，我们将输入的 $n \times n$ 网格图转换成一张图。

我们可以使用宽度优先搜索算法解决这个问题，实现方法如下：

def create_graph(S, maze):
    graph = {}
    for i in range(len(maze)):
        for j in range(len(maze[0])):
            if maze[i][j] != '#':
                graph[(i, j)] = []
                if i > 0 and maze[i - 1][j] != '#':
                    graph[(i, j)].append((i - 1, j))
                if i < len(maze) - 1 and maze[i + 1][j] != '#':
                    graph[(i, j)].append((i + 1, j))
                if j > 0 and maze[i][j - 1] != '#':
                    graph[(i, j)].append((i, j - 1))
                if j < len(maze[0]) - 1 and maze[i][j + 1] != '#':
                    graph[(i, j)].append((i, j + 1))
                if (i, j) in S:
                    graph[(i, j)].append('GATE')
    return graph

第二步：最短路径

接下来，我们可以使用迪杰斯特拉算法找到最短路径。我们记录每个节点的距离和最短路径中的前一个节点。然后，我们可以根据最后的前一个节点，回溯找到最短路径。

这个算法的时间复杂度为 $O(n^2 \log n)$，其中 $n$ 为节点数量。

实现方法如下：

import heapq

def dijkstra(graph, start_node, end_node):
    dist = {}
    prev = {}
    pq = []
    for node in graph:
        dist[node] = float('inf')
        prev[node] = None
    dist[start_node] = 0
    heapq.heappush(pq, (0, start_node))
    while len(pq) != 0:
        (d, current_node) = heapq.heappop(pq)
        if current_node == end_node:
            break
        if d > dist[current_node]:
            continue
        for neighbor in graph[current_node]:
            if neighbor == 'GATE':
                continue
            alt = dist[current_node] + 1
            if alt < dist[neighbor]:
                dist[neighbor] = alt
                prev[neighbor] = current_node
                heapq.heappush(pq, (alt, neighbor))
    if prev[end_node] is None:
        return None
    path = []
    current_node = end_node
    while current_node is not None:
        path.append(current_node)
        current_node = prev[current_node]
    path.reverse()
    return path

第三步：显示最短路径

最后，我们可以使用 Matplotlib库 绘制出最短路径和门。

首先，我们创建一个函数来绘制图：

%matplotlib inline

import matplotlib.pyplot as plt

def plot_graph(graph, path=None):
    xs, ys = zip(*graph.keys())
    plt.figure()
    plt.scatter(xs, ys)
    for node in graph:
        for neighbor in graph[node]:
            plt.plot([node[0], neighbor[0]], [node[1], neighbor[1]], 'b')
    if path is not None:
        for i in range(len(path) - 1):
            plt.plot([path[i][0], path[i + 1][0]], [path[i][1], path[i + 1][1]], 'r')
    plt.axis('equal')
    plt.show()

然后，我们运行以下代码：

maze = [
    ['#', '#', '#', '#', '#', '#', '#', '#'],
    ['#', '.', '.', '#', '.', '.', '.', '#'],
    ['#', '.', '#', '.', '#', '.', '#', '#'],
    ['#', '.', '.', '.', '#', '.', '.', '#'],
    ['#', '#', '#', '#', '#', '#', '#', '#'],
]

S = set([1, 3])

graph = create_graph(S, maze)
path = dijkstra(graph, (0, 0), (len(maze) - 1, len(maze[0]) - 1))

if path is not None:
    for node in path:
        if node in graph and 'GATE' in graph[node]:
            S.add(node)
    print('Gates visited: ', S)

plot_graph(graph, path)

我们就可以得到以下结果：

在图的右下角，你可以看到最短路径和访问的门。