门 | GATE CS 1999 | 问题25

这篇文章介绍了GATE CS 1999的问题25，包括问题陈述、解决方案和代码实现。问题陈述如下：

一个包含 $n$ 个门的房间，每个门都有一个专用的锁。用钥匙开锁后，锁将被打开。每个锁都需要两个独立的钥匙才能被打开，除非一对钥匙中至少有一个是主钥匙。主钥匙只有一把，可以开所有锁。每对钥匙都标有编号 $1\ldots n$，且钥匙编号两两不同。在房间的某一时刻，有一些门是打开的，有一些是关闭的。

以下是该问题的解决方案：

• 建立一张 $n\times n$ 的矩阵 $M$，其中 $M_{i,j}$ 表示钥匙 $i$ 和钥匙 $j$ 能否打开同一把锁；
• 对于 $i=1,\ldots,n$，依次处理每个钥匙对应的锁。如果钥匙 $i$ 和钥匙 $j$ 可以打开同一把锁，则将 $M_{i,j}=M_{j,i}=1$，否则 $M_{i,j}=M_{j,i}=0$；
• 对于每对钥匙 $(i,j)$，如果 $i=j$ 则 $M_{i,j}=M_{j,i}=1$；
• 使用 Floyd–Warshall 算法在矩阵 $M$ 上执行传递闭包操作，从而找出所有锁的解锁方式；
• 对于每个未被打开的门，判断是否有一组钥匙可以打开该门。

下面是该问题的代码实现，采用 Python 3 编写：

def unlock_doors(n: int, doors: List[Tuple[int, int]]) -> List[bool]:
    # Step 1: Build the matrix M
    M = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(1, n + 1):
        keys = [j for j, (x, y) in enumerate(doors, start=1) if i in (x, y)]
        for j in keys:
            M[i - 1][j - 1] = M[j - 1][i - 1] = 1
    for i in range(n):
        M[i][i] = 1
    # Step 2: Find the transitive closure of M
    for k in range(n):
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                M[i][j] |= M[i][k] & M[k][j]
    # Step 3: Check the doors
    unlocked = [False] * n
    for i, (x, y) in enumerate(doors, start=1):
        if not any(M[x - 1][y - 1] for x, y in doors if x != i and y != i):
            unlocked[i - 1] = True
    return unlocked

该函数的输入参数为 $n$ 和门的列表，每个门用一个包含两个元素的元组 $(x,y)$ 来表示。返回一个包含布尔值的列表，其中每个元素表示对应的门是否被打开。