题目

Gate CS 1999, 问题24

题目描述

给出一个有向图$G=(V,E)$和两个节点$s,t \in V$，找出一条从$s$到$t$的最小路径。路径长度为路径上边的数量。

解题思路

这是一个最短路径问题，可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来解决。如果边没有负权，则Dijkstra算法效率更高；如果边存在负权，则只能使用Bellman-Ford算法。具体算法流程为：

Dijkstra算法

1. 创建一个大小为$|V|$的数组$dist$。将$dist[i]$初始化为无穷大，表示到节点$i$的最短路径长度还未确定。
2. 创建一个大小为$|V|$的数组$visited$。将$visited[i]$初始化为$false$，表示节点$i$未被访问过。
3. 将源节点$s$的$dist[s]$初始化为$0$。
4. 从$dist$数组中选出一个最小值所对应的节点$u$，并将其标记为已访问。
5. 对于节点$u$的每个出边$(u,v)$，如果$dist[u]+\text{weight}(u,v) < dist[v]$，则更新$dist[v]$的值为$dist[u]+\text{weight}(u,v)$。
6. 重复步骤4和5直到到达目标节点$t$，或者所有节点都被访问过。

Bellman-Ford算法

1. 创建一个大小为$|V|$的数组$dist$。将$dist[i]$初始化为无穷大，表示到节点$i$的最短路径长度还未确定。
2. 将源节点$s$的$dist[s]$初始化为$0$。
3. 重复执行$|V|-1$轮松弛操作（每轮遍历所有边，对每条边进行松弛操作）。
4. 最后再进行一次遍历，如果还存在松弛的情况，则说明存在负权环。

代码示例

Dijkstra算法的Python实现：

import heapq

def dijkstra(graph, source, target):
    # 初始化距离数组和已访问数组
    dist = [float('inf')] * len(graph)
    visited = [False] * len(graph)

    # 将源节点距离设为0
    dist[source] = 0

    while not visited[target]:
        # 找到距离源节点最近的未访问节点
        u = min(filter(lambda x: not visited[x], range(len(graph))), key=lambda x: dist[x])
        visited[u] = True

        # 更新与该节点相邻的未访问节点的距离
        for v, w in graph[u]:
            if not visited[v] and dist[u] + w < dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w

    return dist[target]

Bellman-Ford算法的Python实现：

def bellman_ford(graph, source, target):
    # 初始化距离数组
    dist = [float('inf')] * len(graph)

    # 将源节点距离设为0
    dist[source] = 0

    # 执行|V|-1轮松弛操作
    for _ in range(len(graph) - 1):
        for u, edges in enumerate(graph):
            for v, w in edges:
                if dist[u] + w < dist[v]:
                    dist[v] = dist[u] + w

    # 处理负权环的情况
    for u, edges in enumerate(graph):
        for v, w in edges:
            if dist[u] + w < dist[v]:
                raise ValueError('存在负权环')

    return dist[target]

总结

本题考查了最短路径的基本知识，要求实现Dijkstra算法或Bellman-Ford算法。需要注意的是，在使用Bellman-Ford算法时要判断是否存在负权环。