门| GATE CS 2012 |问题16

问题描述：给定一个由n个正整数组成的数组，每个元素都在1到k之间，其中k<<n的情况很少见。在该数据集上运行的快速排序算法的期望运行时间是O（nlogn），但是在k＝O（n）的情况下，快速排序的运行时间是O（n²）。使用计数排序（counting sort）来在O（n + klogk）时间内对该数组进行排序。

计数排序是一种非比较排序算法，可以在线性时间内进行排序，适用于k<<n的情况。该算法使用一个辅助数组count，其中count[i]存储了输入数组中等于i的元素数量。然后可以通过对count进行求和来计算输出数组中的每个元素的下标。通过遍历输入数组并按照每个元素的计数将元素放置在输出数组中，从而将输入数组排序。

下面是计数排序的Python实现：

def counting_sort(arr):
    if len(arr) == 0:
        return arr

    # 获取输入数组中的最大值
    max_val = max(arr)

    # 创建一个计数数组count，其中count[i]表示输入数组中等于i的元素数量
    count = [0] * (max_val + 1)

    # 遍历输入数组并对计数数组进行更新
    for i in arr:
        count[i] += 1

    # 通过遍历计数数组来构建输出数组
    output = []
    for i in range(max_val + 1):
        output.extend([i] * count[i])

    return output

现在，我们可以将计数排序算法用于解决问题16。具体实现如下：

def quick_sort_with_counting_sort(arr):
    # 获取输入数组中的最大值
    max_val = max(arr)

    # 通过计数排序对输入数组进行排序
    sorted_arr = counting_sort(arr)

    return sorted_arr

该算法的运行时间为O（n + klogk），因为计数排序的时间复杂度为O（n + k），而k << n，因此计数排序的时间复杂度为O（n）。因此，总排序时间为O（n + klogk）。

总之，我们可以用计数排序算法来解决k << n的情况下的排序问题，这样可以在O（n + klogk）的时间内完成排序。