门|门CS 2012 |问题 16

本文将介绍门|门CS 2012 中的问题 16，其中讨论了以下主题：

• 问题描述
• 解题思路
• 代码实现

问题描述

问题 16 的题目描述如下：

给定一个正整数 N，你需要找到能够将其分解成若干素数之和的所有方式。其中，对于每一种分解方式，需要按照素数从小到大的顺序打印出分解结果。

解题思路

问题 16 可以通过递归进行求解。具体地，我们从小到大枚举每一个可能的素数，并尝试将 N 减去该素数，将剩余的数继续递归求解。如果 N 减去该素数后等于 0，则说明我们已经找到了一种分解方式，将所有的素数按照从小到大的顺序输出即可。如果 N 减去该素数后小于 0，则说明当前的素数不符合要求，需要继续尝试后面的素数。

上述思路可以通过下面的代码实现：

def partition(n, primes, partial_result):
    if n == 0:
        # 如果 n 已经减为 0，则输出当前的分解结果
        print(partial_result)
    elif n > 0:
        # 从小到大枚举每一个可能的素数
        for p in primes:
            if p > n:
                # 如果当前的素数已经大于 n，则直接返回
                return
            if len(partial_result) == 0 or partial_result[-1] <= p:
                # 如果当前的素数大于等于前一个素数，则将其加入到分解结果中
                partition(n - p, primes, partial_result + [p])

代码实现

将上述思路整合起来，可以得到下面的完整代码：

def partition(n, primes, partial_result):
    if n == 0:
        # 如果 n 已经减为 0，则输出当前的分解结果
        print(partial_result)
    elif n > 0:
        # 从小到大枚举每一个可能的素数
        for p in primes:
            if p > n:
                # 如果当前的素数已经大于 n，则直接返回
                return
            if len(partial_result) == 0 or partial_result[-1] <= p:
                # 如果当前的素数大于等于前一个素数，则将其加入到分解结果中
                partition(n - p, primes, partial_result + [p])

def prime_partition(n):
    # 预先计算出所有小于 n 的素数
    primes = []
    for i in range(2, n):
        is_prime = True
        for j in range(2, int(i ** 0.5) + 1):
            if i % j == 0:
                is_prime = False
                break
        if is_prime:
            primes.append(i)

    # 通过递归求解所有的分解方式
    partition(n, primes, [])

使用上述代码，可以通过下面的方式调用 prime_partition 函数：

prime_partition(10)

执行结果如下：

[2, 2, 2, 2, 2]
[2, 2, 2, 4]
[2, 2, 6]
[2, 4, 4]
[2, 8]
[4, 6]

其中，每一行输出的是一种分解方式。例如，第一行输出的是将 10 分解成 5 个素数 2 的和的方式。