门|门 CS 1999 |问题 24

简介

这是“门|门 CS 1999”的第24个问题。这个问题关注的是图论中的最短路问题。

程序设计

针对这个问题，程序员可以使用Dijkstra算法或者Bellman-Ford算法求解最短路问题。

Dijkstra算法

Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带有非负边权值的图中单源最短路径问题。具体思路是从一个源点开始，按照节点与源点的距离由小到大的顺序，依次将节点加入到集合S（已求出最短路径的节点集合）中。由于使用了贪心的策略，所以Dijkstra算法只适用于边权值非负的图。

Bellman-Ford算法

Bellman-Ford算法可以解决带有负边权值的图中单源最短路径问题。具体思路是先将所有节点到源点的最短路径长度预设为正无穷，然后通过对每条边进行松弛操作，不断更新每个节点到源点的最短路径长度，直到所有节点的最短路径长度不再发生变化或者出现负权回路为止。由于Bellman-Ford算法对边权值无限制，所以它比Dijkstra算法更加通用，但是时间复杂度相对也会较高。

代码示例

Dijkstra算法

def dijkstra(graph, src):
    dist = {node: float('inf') for node in graph}
    dist[src] = 0
    visited = set()
    while len(visited) < len(graph):
        node = min((set(dist.keys()) - visited), key=dist.get)
        visited.add(node)
        for neighbour in graph[node]:
            new_cost = dist[node] + graph[node][neighbour]
            if new_cost < dist[neighbour]:
                dist[neighbour] = new_cost
    return dist

Bellman-Ford算法

def bellman_ford(graph, src):
    dist = {node: float('inf') for node in graph}
    dist[src] = 0
    for i in range(len(graph) - 1):
        for u in graph:
            for v in graph[u]:
                if dist[v] > dist[u] + graph[u][v]:
                    dist[v] = dist[u] + graph[u][v]
    return dist

以上代码示例中，graph为图的邻接表，src表示源点。在Dijkstra算法中，我们通过一个dist字典记录每个节点到源点的最短距离，visited集合记录已经求出最短距离的节点。在Bellman-Ford算法中，我们同样使用一个dist字典记录每个节点到源点的最短距离，通过多次对边的松弛操作，不断更新dist字典中的值。

总结

在图论中，最短路问题是一个非常经典的问题。针对不同特征的图，我们可以使用不同的算法来解决最短路问题。Dijkstra算法适用于边权值非负的图，而Bellman-Ford算法可以解决带有负边权值的图。在实际应用中，我们需要具体问题具体分析，选择合适的算法来解决最短路问题。