UGC NET CS 2015 年六月 – II | 问题 11

这是一道关于数据结构和算法方面的问题。

问题描述：己知一个长度为n的整数数组A，设计一个算法，使得数组A中的每个数都能够被数组中的另外一个数整除，且算法的时间复杂度为O(nlogn)。请你给出你所设计的算法，并分析它的时间复杂度。

解决方案

我们设计如下算法：

1. 对数组进行排序（时间复杂度为O(nlogn)）。

2. 遍历数组，并寻找它的因子。

3. 对于第i个元素，我们只需要在[i+1, n-1]这个区间中，查找它的所有因子。

4. 对于每个因子，将因子及其倍数出现的位置（位置需要在之前遍历到过的元素之后，防止重复计算）记入一个辅助数组B中。

5. 在遍历i时，查询B中第i个元素记录的位置，如果B[i]存在，则说明A[B[i]]这个数是i的因子，输出即可。

该算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中排序所需的时间复杂度为O(nlogn)，查找所有因子和计算B中的所有位置所需的时间复杂度为O(nlogn)，遍历B数组并输出答案所需的时间复杂度为O(n)。

代码

1. 对数组进行排序
    sort(A, A+n);

2. 遍历数组，并寻找它的因子
    for(int i=0; i<n; i++) {
        for(int j=i+1; j<n; j++) {
            if(A[j] % A[i] == 0) {
                // 找到了一个因子
                B[i].push_back(j);
            }
            else if(A[j] > A[i] * A[i]) {
                // 如果A[j] > A[i] * A[i]，说明A[i]不可能是A[j]的因子
                break;
            }
        }
    }

3. 在遍历i时，查询B中第i个元素记录的位置，如果B[i]存在，则说明A[B[i]]这个数是i的因子。输出即可。
    for(int i=0; i<n; i++) {
        for(int j=0; j<B[i].size(); j++) {
            int k = B[i][j];
            if(k > i) {
                cout << A[k] << " is divisible by " << A[i] << endl;
            }
        }
    }

请注意：这只是一份伪代码，仅供参考。实际上如何实现，还需开发者去思考。