UGC NET CS 2015 年六月 - II | 问题 4

这是一道由教资会网络提出的计算机科学考题，旨在考察编程技能和对计算机网络的理解。

题目描述

给定一个无向图 G 与它的一棵生成树 T，其中每个边权为正整数。现在，对于非树边 e(u, v) ∈ G-T，将它添加到生成树 T 中得到一个环，问题是如何找到这个环上边权的最大值。

解题思路

这道题可以通过深度优先遍历（DFS）和并查集来解决，下面分别讲解。

方法一：深度优先遍历（DFS）

首先在生成树 T 的基础上，将非树边 e(u, v) 依次加入，每次将 e(u, v) 的两个顶点 u, v 之间的路径记录下来，如果在路径上发现了一条已经存在于生成树 T 中的边，则说明这条添加的边 e(u, v) 和生成树 T 之间形成了一个环，我们只需要判断这个环上的边权的最大值就可以了。

方法二：并查集

并查集是一种用于维护元素集合的数据结构，它有两个主要的操作，分别是查找（Find）和合并（Union）。在本题中，我们可以将每条边的两个端点存放在一个集合中，当新加入的边的两个端点已经在同一个集合中时，说明它们之间已经存在了一条路径，也就是说新添加的边 e(u, v) 和原有的路径之间形成了一个环，则我们只需要从这个环中找到最大边权即可。

代码实现

方法一：深度优先遍历（DFS）

"""
深度优先遍历（DFS）版
"""
def find_max_edge_weight_dfs(G, T, u, v):
    # 定义 visited 数组，记录 DFS 遍历过的顶点
    visited = [False] * len(G)
    # 从 u 出发 DFS 遍历到 v，返回访问的路径上的最大边权
    return dfs(G, T, visited, u, v)

def dfs(G, T, visited, u, v):
    # 标记顶点 u 已经遍历过了
    visited[u] = True
    # 如果 u 和 v 相等，则说明已经遍历到了 v，返回 0
    if u == v:
        return 0
    # 遍历顶点 u 的邻居节点
    for i in G[u]:
        if not visited[i]:
            # 如果 i 在 T 中，则继续遍历其邻居节点
            if T[u][i]:
                max_weight = dfs(G, T, visited, i, v)
                # 如果 max_weight 大于 0，说明 u 和 v 之间有路径，则返回路径上最大的边权
                if max_weight > 0:
                    return max(max_weight, G[u][i])
            # 如果 i 不在 T 中，则直接返回权值
            else:
                return G[u][i]
    return 0

方法二：并查集

"""
并查集版
"""
def find_max_edge_weight_union_find(G, T, u, v):
    # 定义并查集，元素为所有顶点
    # 初始化，每个元素自成一个集合
    p = {i: i for i in range(len(G))}
    # 路径压缩函数
    def find(x):
        if p[x] != x:
            p[x] = find(p[x])
        return p[x]
    # 合并两个集合的函数
    def union(x, y):
        px, py = find(x), find(y)
        p[px] = py
    # 遍历每个非树边，找到环并记录每个边的权值
    weights = {}
    for i in range(len(G)):
        for j in G[i]:
            if not T[i][j]:
                x, y = find(i), find(j)
                if x == y:
                    continue
                # 去除之前的连接，加上新的连接
                weights[(i, j)] = G[i][j]
                weights[(j, i)] = G[j][i]
                union(x, y)
    # 遍历所有环上的边，找到最大权值并返回
    max_weight = 0
    for i in range(len(G)):
        for j in G[i]:
            if not T[i][j] and (i, j) in weights and weights[(i, j)] > max_weight:
                max_weight = weights[(i, j)]
    return max_weight

结语

本题是一道较典型的树形DP问题，采用上述两种方法都可以较好的解决。需要注意的是，使用DFS方法时要保存一个visited数组记录已经访问过的节点，同时也需要保存一个生成树T的矩阵，用于判断一条边是否属于树形结构。

并查集方法的思路比DFS方法要简单一些，首先要编写路径压缩函数和合并函数，然后找出当前图中的所有非树边并将它们加入到集合中，最后遍历集合中的每条边并计算出最大权值即可。