UGC NET CS 2015 年六月 – II |问题 1

此篇文章是关于 UGC NET CS 2015 年六月 – II 中的第一个问题的解答。该问题涉及编程知识，需要程序员们根据所学知识进行解答。

问题描述

下面是问题描述：

在运输网络中，从源节点到目的节点的各种不同路径中的最小边数（或最短路径问题）是什么？提出一种基于“制表查询”方法的确定最短路径算法。为此，省略用于推断最短路径和建模网络图的细节。

问题解答

本问题询问了求解最短路径问题的算法，下面将对这个问题进行解答。

最短路径问题

针对最短路径问题，我们可以使用图论中的 Dijkstra 算法。该算法是一种用于解决带有正边权（即未定义负的边权，如果有负边权则需使用 Bellman-Ford 算法）有向图（也可以把有向图看成无向图）单源最短路径问题的贪心算法。

经过 Dijkstra 算法处理，可以得到源节点到目的节点的最短路径和长度。

制表查询方法

对于制表查询方法，我们可以利用动态规划来解决维护最短路径表的问题。以下是具体算法：

1. 初始化一个包含源节点和目的节点的空表格；
2. 对于每个节点，依次使用 Dijkstra 算法求解其到源节点的最短路径，并填充表格；
3. 在填充表格时，我们可以建立前驱链表来维护路径，这样在最后一行（即目的节点）中记录的就是从源节点到目的节点的最短路径上所有节点的前驱；
4. 最后，可以根据前驱链表反向得到从源节点到目的节点的最短路径。

下面是该算法的伪代码：

function find_shortest_path(source, destination, graph):
    // 初始化表格
    shortest_path_table = {}
    for i in graph:
        for j in graph:
            shortest_path_table[i][j] = []
    
    // 使用 Dijkstra 算法依次求解每个节点到源节点的最短路径，并填充表格
    for node in graph:
        # 使用 Dijkstra 算法求解 node 到 source 的最短路径和距离
        dist, predecessor = dijkstra(graph, source, node)

        # 填充 shortest_path_table
        for v in graph:
            path = []
            u = v
            while u != node and u is not None:
                path.insert(0, u)
                u = predecessor[u]
            if u is None:
                shortest_path_table[node][v] = None
            else:
                path.insert(0, node)
                path.append(v)
                shortest_path_table[node][v] = path
    
    // 利用前驱链表反向得到最短路径
    path = []
    node = destination
    while node != source and node is not None:
        path.insert(0, node)
        node = predecessor[node]
    if node is None:
        return None
    else:
        path.insert(0, source)
        return path

// Dijkstra 算法的伪代码
function dijkstra(graph, source, node):
    unvisited_nodes = graph.keys() # 所有的节点
    distance = {} # source 到其他节点的距离
    predecessor = {} # 前驱链表，记录到达每一个节点的前驱
    for i in graph:
        distance[i] = float('inf') # 初始化最短距离
        predecessor[i] = None
    distance[source] = 0 # source 到 source 的距离为 0
    
    while unvisited_nodes:
        u = min(unvisited_nodes, key=lambda x: distance[x])
        unvisited_nodes.remove(u)
        for v in graph[u]:
            new_distance = distance[u] + graph[u][v]
            if new_distance < distance[v]:
                distance[v] = new_distance
                predecessor[v] = u
    return distance, predecessor

总结

本文章针对 UGC NET CS 2015 年六月 – II 中的第一个问题，详细解答了最短路径问题以及制表查询方法，并提供了相应的算法伪代码。程序员们可以根据这些知识来解决类似的问题。