11类NCERT解决方案-第10章直线–练习10.3 |套装1

本篇介绍的是NCERT的11类数学教材练习册中的第10章直线–练习10.3，以及套装1提供的解决方案。本套装提供了NCERT教材中所有的练习题的解决方案。

直线–练习10.3

本章的主要内容是直线。在这一节中，练习题10.3分为5道题。每一道题的目的是帮助学生熟悉直线的概念和应用，从而提高他们解决数学问题的能力。

题目1是关于线段的问题，题目2是关于距离的问题，题目3是关于角度的问题，题目4是关于三角形的问题，题目5是关于平移或旋转的问题。

套装1解决方案

该套装提供了NCERT教材中所有的练习题的解决方案。它的目的是帮助学生更好地掌握直线的概念和应用，并提高他们的解决数学问题的能力。以下是题目1-5的解决方案：

题目1解决方案：

题目要求我们证明 $AB \parallel CP$，根据题目中的信息，我们可以列出等式：

$\frac{AB}{DE} = \frac{AD}{DB}$

$\frac{CP}{AE} = \frac{AC}{CE}$

将等式两边交叉相乘（即$\frac{AB}{DE} \times \frac{CP}{AE} = \frac{AD}{DB} \times \frac{AC}{CE}$），得到

$\frac{AB}{DE} \times \frac{CP}{AE} = \frac{AD \times AC}{DB \times CE}$

因为 $AD = DB + AB$，所以 $AD \times AC = (DB + AB) \times AC = AB \times AC + DB \times AC$。同时，$CE = AE - AC$，所以 $DB \times CE = DB \times (AE - AC) = DB \times AE - DB \times AC$。将这两个结果代入前面的等式，得到

$\frac{AB}{DE} \times \frac{CP}{AE} = \frac{AB \times AC + DB \times AC}{DB \times AE - DB \times AC}$

再次变形得

$\frac{AB}{DE} \times \frac{CP}{AE} = \frac{AB \times AC}{DB \times AE - DB \times AC} + \frac{DB \times AC}{DB \times AE - DB \times AC}$

由于 $AB \times AC = DB \times AC$，所以

$\frac{AB}{DE} \times \frac{CP}{AE} = \frac{AB \times AC}{DB \times (AE - AC)} + \frac{AC}{AE - AC}$

解出 $\frac{AB \times AC}{DB \times (AE - AC)}$ 后得到的表达式是 $1 + \frac{BC}{DB}$，于是原等式变为

$\frac{AB}{DE} \times \frac{CP}{AE} = 1 + \frac{BC}{DB} + \frac{AC}{AE - AC}$

因为 $AD = AE$，所以 $\frac{AC}{AE - AC} = \frac{CE}{AE - CE} = \frac{BC}{BE}$。将这个结果代入前面的等式，得到

$\frac{AB}{DE} \times \frac{CP}{AE} = 1 + \frac{BC}{DB} + \frac{BC}{BE}$

将 $AB = DE$ 代入等式 $\frac{AB}{DE} \times \frac{CP}{AE} = 1 + \frac{BC}{DB} + \frac{BC}{BE}$，得到

$BC \times BD \times CE + CD \times BD \times BE = DB \times BE \times CE$

变形后得出

$\frac{BD\times CE}{DB\times EC}+\frac{BD\times BE}{DB\times EC}=1$

所以 $AB\parallel CP$。

题目2解决方案：

因为 $P$ 在 $AB$ 上，所以 $AP + PB = AB$，即 $11 + PB = 15$，从而 $PB = 4$。又因为 $PC$ 垂直于 $AB$，所以 $CP$ 是 $AB$ 的垂线，所以 $P$ 是 $C$ 到 $AB$ 的垂足。根据勾股定理，$CP^2 = PC^2 = AC^2 - AP^2$，把已知数据带入计算得 $PC = \sqrt{15^2 - 11^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}$。

所以线段 $CP = 2\sqrt{26}$。

题目3解决方案：

这个问题中有两条垂线，所以它们是相交的。设相交点为 $O$。然后 $OD$ 和 $OE$ 是垂线，所以 $OD \perp AB$ 和 $OE \perp AC$。而题目中给出 $AB = 6$ 和 $AC = 8$，所以 $OD = \frac{1}{2} AB = 3$，$OE = \frac{1}{2} AC = 4$。又因为 $AD = DB$，所以 $BD = \frac{1}{2} AB = 3$。于是在直角三角形 $\triangle OBD$ 中，$OD = 3$，$BD = 3$，可用勾股定理求出 $OB = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$。同样，在直角三角形 $\triangle OCE$ 中，$OE = 4$，$CE = AC - AE = 8 - 6 = 2$，可用勾股定理求出 $OC = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$。注意到 $\triangle OBD \sim \triangle OCE$，因为它们都是 $90^\circ$夹角的直角三角形。所以有

$\frac{OB}{BD} = \frac{OC}{CE}$

代入已知数据，得到

$\frac{3\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{5}}{2}$

所以 $\frac{OB}{BD} = \frac{OC}{CE} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

题目4解决方案：

先把三个点 $A(2,-3)$、$B(3,1)$ 和 $C(5,3)$ 的坐标代入向量点积计算公式计算出它们的向量。设 $\vec{a} = \overrightarrow{AB} = (1, 4)$，$\vec{b} = \overrightarrow{AC} = (3, 6)$。根据向量的点积公式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$，我们可以计算出两个向量的点积为

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (4)(6) = 27$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 27$。

根据正弦定理，三角形的面积等于三个点组成的有向线段、方向相反的向量的“叉积”的大小。它还是$\frac{1}{2} |\overrightarrow{ab} \times \overrightarrow{cd}|$ 或 $\frac{1}{2} |\overrightarrow{ba} \times \overrightarrow{dc}|$。根据这个公式，三角形 $\triangle ABC$ 的面积为

$|\triangle ABC| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 4 & 0 \ 3 & 6 & 0 \end{vmatrix}$，也就是

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (0 \mathbf{i} - 0 \mathbf{j} + (-6)\mathbf{k}) -(0\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + (-3)\mathbf{k}) = (-3) \mathbf{k}$

因此，三角形 $\triangle ABC$ 的面积是

$|\triangle ABC| = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-3)^2} = \frac{3}{2}$

所以三角形的面积为 $\frac{3}{2}$。

题目5解决方案：

这个问题用旋转和平移的概念来解决。首先，把三角形 $\triangle QPR$ 围绕点 $P$ 逆时针旋转 $90^\circ$。由于旋转点是 $P$，所以要围绕 $-P$ 旋转（即将 $P$ 移动到坐标原点）。因此，顶点 $Q$ 和 $R$ 分别被转化为 $(3, 0)$ 和 $(5, 0)$。

然后把所有点沿着 $x$ 轴向右平移 $6$，得到$\overline{AP'} = \overline{AP} + 6$。因此，点 $A$ 将平移到坐标 $(7, 3)$。

最后，把三角形 $\triangle P'Q'R'$ 旋转 $-90^\circ$，用相同的方式可以得到它的顶点在 $(9, 6)$ 和 $(11, 6)$。这个三角形的坐标是 $(7, 3)$、$(9, 6)$ 和 $(11, 6)$。

因此，将 $\triangle ABC$ 沿着向量 $\overrightarrow{PQ} = (2, 3)$ 平移 $6$，得到 $\triangle P'Q'R'$，其中 $\triangle P'Q'R'$ 的坐标是 $(7, 3)$、$(9, 6)$ 和 $(11, 6)$。

这里用到的平移、旋转和计算向量所用的公式和方法非常重要，它们都是初中数学中至关重要的概念。