GATE CS 1999 Question 59

本题为门计算机科学的1999年考试题目，涉及到图论中的最短路径算法和码论相关的问题。如果您是想要进行算法、数据结构方面深入学习的程序员，本题将会是一个不错的练手项目。下面将会介绍本题的详细信息。

题干

本题给出一个加权有向图G =（V，E），每个边（u，v）的权重为w（u，v），并且每个节点都有一些权重map（v），其中u和v是图中的节点并且map（v）是一些整数。

图中没有负权重边，但可能存在weight（u，v）= 0的边。最短路径被定义为从源节点到目标节点的最小总权重路径，其中源节点和目标节点是图的两个给定节点。

本题的目的是将Dijkstra算法（使用一个最小优先队列，最大开销必须为O（E lg V））扩展到接受一组受限点。对于这组受限点，要求仅能使用它们中的节点作为路径的起点或终点。如果最短路径未经过任一受限点，则称为自由最短路径。

定义从节点u的自由最短路径长度为h（u），则G的最短路径应该满足以下条件之一：

• 最短路径经过受限点，并且最小总权重小于等于自由最短路径加上受限点之间的最小总权重；
• 最短路径未经过任何受限点，并且最小总权重小于任何自由最短路径加上受限点之间的最小总权重。

根据这个定义，请实现求取最短路径的Dijkstra算法，以及自由最短路径长度的求解。

解题思路

本题要求我们在Dijkstra算法的基础上扩展算法，支持对于一个给定的受限点集合，对最短路径计算以及自由最短路径长度的求解。因此，我们需要对Dijkstra算法的基础思路有所了解。简单来说，Dijkstra算法的过程如下：

1. 初始化距离数组 dist[] 和已访问节点集合 S，将起点源点加入 S 中，其他点的距离初始化为无穷远
2. 遍历与源点相邻的节点，更新距离数组 dist[] 的值，并添加到 S 中。一般这一步需要使用堆来优化时间复杂度
3. 重复步骤 2，直到 S 包含了所有节点（如果只需要到达目标节点，则可以再S中保存目标点时结束）。

根据题意，您需要针对Dijkstra算法进行如下的扩展：

1. 在初始化中，需要对每个点是否在受限集合中进行标记
2. 在更新dist[]数组和添加节点到S集合时，需要对当前节点是否在受限集合中进行判断
3. 需要对自由最短路径长度进行计算（这里可能需要根据受限集合中的元素进行策略调整）

本题的要点在于将算法与数据结构结合，合理设计代码并处理好边界问题。具体的实现可以使用常见的面向对象的程序语言，如Java、C++等完成。

代码片段

本题需要实现Dijkstra算法以及自由最短路径长度的计算。下面是具体的代码实现（以Python代码为例）：

from queue import PriorityQueue  # 优先队列模块

def dijkstra(graph, start_node, restricted_nodes_set):
    """
    Calculate the shortest path using Dijkstra algorithm
    """
    distances = {node: float('inf') for node in graph}
    distances[start_node] = 0
    S = []
    pq = PriorityQueue()
    pq.put((0, start_node))  # 初始节点加入队列

    while not pq.empty():
        (dist, close_node) = pq.get()
        S.append(close_node)

        for neighbor_node in graph[close_node]:
            new_cost = distances[close_node] + graph[close_node][neighbor_node]
            if new_cost < distances[neighbor_node] and neighbor_node not in restricted_nodes_set:
                distances[neighbor_node] = new_cost
                pq.put((new_cost, neighbor_node))

    return distances

def get_free_shortest_path(graph, start_node, end_node, restricted_nodes_set, node_map):
    """
    Calculate the free shortest path using Dijkstra algorithm
    """
    free_shortest_distance = float('inf')
    for node in restricted_nodes_set:
        # 计算以每个限制节点为起点或者终点的最短路径
        from_node_distance = dijkstra(graph, node, restricted_nodes_set)
        to_node_distance = dijkstra(graph, end_node, restricted_nodes_set)

        # 计算自由路径加上当前限制点后的总距离
        free_distance = from_node_distance[start_node] + to_node_distance[node] + node_map[node]

        # 判断是否为最短自由路径
        if free_distance < free_shortest_distance:
            free_shortest_distance = free_distance

    # 计算从起点到终点的自由路径距离
    free_path_distance = dijkstra(graph, start_node, restricted_nodes_set)[end_node]

    return min(free_shortest_distance, free_path_distance)

在上述代码实现中，我们使用了Python中的 PriorityQueue 模块来实现最小优先队列。其中 dijkstra 函数用于计算从起点到所有节点的最短路径，而 get_free_shortest_path 函数则用于计算自由最短路径长度。