算法测验 | SP2竞赛1 | 问题29

本题目是 SP2 竞赛的第一题中的第二十九个问题。该问题考察了对字符串操作和算法优化的能力。

问题描述

给定一个字符串 $A$，和两个正整数 $X, Y$。

假设你可以对 $A$ 进行无限次以下两种操作中的一种：

1. 将一个字母加在 $A$ 的最后面
2. 将一个字母加在 $A$ 的最前面

每一次操作的时间消耗为 $1$ 秒。

现在，你希望将字符串 $A$ 转化为一个回文字符串，并且消耗的时间最少。

请你设计一个算法，输出最小时间消耗。

输入格式

第一行输入一个字符串 $A$，$1 \leq |A| \leq 500$。

第二行输入两个正整数 $X, Y$，$1 \leq X, Y \leq 1000$。

输出格式

输出一个整数，表示将字符串 $A$ 变成回文字符串的最小时间消耗。

样例输入

abcd
2 1

样例输出

6

算法思路

此题目的求解方式是：

1. 首先记录下字符串 $A$ 中每一个字符 $c_i$ 和 $c_j$ 的操作时间 $t_{i,j}$。记矩阵 $T$ 表示这样的时间，其中 $T_{i,j}=T_{j,i}=t_{i,j}$，$T_{i,i}=0$。可以根据题目要求，简单地进行计算： $$ t_{i,j} = \begin{cases} X, & \text{if }i=j\ Y, & \text{if }i \neq j \end{cases} $$
2. 计算出字符串 $A$ 的最小编辑距离 $d$，并记录下最小编辑距离的操作方式。
3. 计算最小编辑距离的时间消耗值 $S$，其中 $S = \sum{T_{i,j}}$。
4. 输出 $S$。

代码实现

下面是 Python 的伪代码实现，其中使用了函数 min_edit_distance() 计算最小编辑距离。

# 给定一个字符串 s 和两个权重值 x, y，返回 s 从左到右的最小操作时间消耗
def calc_time(s, x, y):
    # 预处理时间矩阵，注意初始化为 INF 或 MAX_INT
    n = len(s)
    T = [[float('inf') for i in range(n)] for j in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            if i == j:
                T[i][j] = 0
            else:
                T[i][j] = T[j][i] = x if s[i] == s[j] else y

    # 计算最少编辑距离
    dp = min_edit_distance(s, s[::-1], x, y)
    # 计算时间消耗
    S = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if dp[i][j] == 'del':
                S += T[i][j]
            elif dp[i][j] == 'add':
                S += T[i][j+1]
            elif dp[i][j] == 'sub':
                S += T[i][j]
            else:
                # do nothing
                pass
    return S