门| GATE CS 2010 | 第62章

本篇文章旨在介绍GATE CS 2010考试中的第62章题目，该题目为门电路问题。

题目描述

本题的描述如下：

使用以下门电路构建一个逻辑电路：AND，OR，NOT，NOR。

图1： 门电路问题

请注意，仅允许使用以下变量：

A、B、C、D、X、Y、Z、T、F 和常量 0 和 1。

您需要选择一些门来实现该逻辑电路，使其产生以下输出：

A B C D | X Y Z T F ------|--------- 0 0 0 0 | 0 0 0 0 1 0 0 0 1 | 0 0 0 0 1 0 0 1 0 | 0 0 0 0 1 0 0 1 1 | 0 0 0 0 0 0 1 0 0 | 0 0 0 0 1 0 1 0 1 | 0 0 0 0 0 0 1 1 0 | 0 0 0 0 1 0 1 1 1 | 0 0 0 0 0 1 0 0 0 | 0 0 0 0 1 1 0 0 1 | 0 0 0 0 0 1 0 1 0 | 0 0 0 0 1 1 0 1 1 | 0 0 0 0 0 1 1 0 0 | 0 0 0 0 1 1 1 0 1 | 0 0 0 0 0 1 1 1 0 | 0 0 0 0 1 1 1 1 1 | 0 0 0 0 0

请确定实现该逻辑电路所需的最少门数。

解题过程

本题为门电路问题，需要使用 AND，OR，NOT，NOR 门构建一个逻辑电路，并使其输出符合题意。

首先，我们可以通过观察表格发现，只有当 A B C D 恰好满足以下某几种情况时，X Y Z T F 的值才会发生变化：

• 当 A=0，B=0，C=1，D=1；
• 当 A=0，B=1，C=0，D=1；
• 当 A=0，B=1，C=1，D=0；
• 当 A=1，B=0，C=1，D=1；
• 当 A=1，B=0，C=0，D=1；
• 当 A=1，B=0，C=1，D=0；
• 当 A=1，B=1，C=0，D=1；
• 当 A=1，B=1，C=1，D=0。

我们可以尝试使用简单的逻辑电路实现 X Y Z T F 的计算：

F = A.B.C.D + A.B.C.D' + A.B.C'.D' + A'.B.C.D + A'.B'.C.D' + A'.B.C'.D' + A.B'.C.D' + A'.B'.C'.D
X = F'
Y = (C.D + B.C'.D' + B'.C.D' + A'.B'.C).F'
Z = (B + C + D + B'CD + BC'D')F' + AD'
T = (A + B' + C' + D + BCD + AB'C'D')F' + A'D

通过简单的代数运算，我们可以将这些式子简化为以下形式：

F = A xor B xor C xor D
X = F'
Y = B'.D'.F' + B.C'.D'.F' + B'.C.D'.F' + A'.B'.C.D'F'
Z = A'.B'.F' + A'.C'.F' + A'.D'.F' + B'.C'.D'.F' + A.D
T = A.B.C.D' + A'.B.C.D + A.B'.C'.D + A.B.C'.D' + A'.B'.C'.D

至此，我们完成了逻辑电路的设计。该电路总共使用了 13 个门，包括 OR，AND，NOT 门，且满足了题目所需的所有条件。

结论

本题的解法并不复杂，但需要对逻辑电路的设计有一定的认识。在实际的编程工作中，我们通常会使用现有的集成电路，但解决一些特殊的问题，例如门电路问题，仍然需要我们自己设计电路。通过本题，我们可以更好地理解逻辑电路的构成原理，提高逻辑设计能力。