门| GATE CS 2010 |问题4

这道题是GATE CS 2010年的一道考题，涉及到了计算机科学中的概率和统计学知识，需要掌握相关的数学原理和技能。

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的布尔数组 $A$（即数组中的每个元素都是 $0$ 或 $1$）。设计一个算法，找到一个 $i$，使得 $i$ 左侧所有元素的和等于 $i$ 右侧所有元素的和，即满足 $\sum_{j=1}^{i-1} A_j = \sum_{j=i+1}^n A_j$。

如果不存在这样的 $i$，则输出 $-1$。

示例

考虑一个数组 $A = [1, 2, 3, 5, 3, 2, 1]$，那么 $i=4$ 是一个满足条件的 $i$，因为 $1+2+3+5 = 2+1+3+2+1$，而且 $i=4$ 是第一个满足条件的 $i$。

解题思路

这道题可以使用前缀和来解决。具体来说，我们可以求出数组 $A$ 的前缀和数组 $S$，其中 $S_k = \sum_{i=1}^k A_i$，然后遍历数组 $A$，对于每个位置 $i$，我们可以利用 $S$ 数组来判断该位置是否是满足条件的位置，即判断 $S_{i-1}$ 是否等于 $S_n - S_i$。

代码如下：

def find_partition(A: List[int]) -> int:
    n = len(A)
    S = [0] * n
    S[0] = A[0]
    for i in range(1, n):
        S[i] = S[i-1] + A[i]

    for i in range(n):
        if S[i-1] == S[n-1] - S[i]:
            return i

    return -1

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 为数组 $A$ 的长度。算法使用了前缀和数组 $S$，空间复杂度为 $O(n)$。