门| GATE CS 2010 |问题2

问题描述

给定一个字符串S，要求通过若干次操作，将 S 转换为 T。每次操作可以将 S 的一个子串替换为另一个字符串。求最少需要多少次操作才能将 S 变为 T。

思路

这是一道非常经典的字符串替换问题，可以使用动态规划来解决。设状态 $dp_{i,j}$ 表示将 $S$ 的前缀 $S_{1...i}$ 转换为 $T$ 的前缀 $T_{1...j}$ 需要的最少操作次数。对于状态转移，考虑 S 和 T 的最后一个字符 $S_i$ 和 $T_j$ 是否相等，分为三种情况：

1. $S_i = T_j$。此时不需要进行替换操作，所以可以直接继承状态 $dp_{i-1,j-1}$。

2. $S_i \ne T_j$。此时需要进行替换操作，可以找到 S 中一个子串 $S_{x+1...i}$，使得将其替换为 T 中 $T_{y+1...j}$ 可以使得 $S_{1...x}$ 转换为 $T_{1...y}$，即 $dp_{x,y}$ 的值最小。则可以将 $S_{1...i}$ 转换为 $T_{1...j}$ 的最少操作次数为 $dp_{x,y} + 1$。

3. 插入。如果需要不断在 T 中插入字符，则对于 $S_{1...i}$，要在 $T_{1...j-1}$ 后插入字符 $T_{j}$ 才能得到 $T_{1...j}$。则可以将 $S_{1...i}$ 转换为 $T_{1...j}$ 的最少操作次数为 $dp_{i,j-1}+1$。

综合上述三种情况，可以得到如下状态转移方程： $$ dp_{i,j} = \begin{cases} dp_{i-1,j-1} & S_i = T_j \ \min { dp_{x,y} } + 1 & S_i \ne T_j \ dp_{i,j-1} + 1 & j > 1 \end{cases} $$

需要注意的是，由于字符串下标从 0 开始，所以在计算时需要将 $S$ 和 $T$ 的下标都向右偏移一个。具体实现时，需要考虑边界情况，即当 $i=0$ 或 $j=0$ 时的初始状态。

代码片段

def min_operations(s: str, t: str) -> int:
    m, n = len(s), len(t)
    dp = [[float('inf')] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    for i in range(m+1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(n+1):
        dp[0][j] = j

    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if s[i-1] == t[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j-1]+1, dp[i][j-1]+1)

    return dp[m][n]

以上是 Python 代码，采用了二维数组来存储状态。时间复杂度为 $O(mn)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为两个字符串的长度。