门| GATE CS 2010 |问题8

这个问题基于组合的知识，需要求解有关排列组合的问题。下面是问题的描述和解决方法。

问题描述

在给定的正整数 $n$ 和 $m$ 下，定义由 $n$ 个 $0$ 和 $m$ 个 $1$ 组成的所有长度为 $n + m$ 的二进制串的集合为 $S(n, m)$。例如，若 $n = 2$ 且 $m = 2$，则 $S(n, m)$ 包括以下 $6$ 个二进制串：

$0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100$

对于给定的 $n$ 和 $m$，我们定义 $f(n, m)$ 表示 $S(n, m)$ 中二进制串的个数为 $2$ 的正整数次幂的个数。例如，若 $n = 2$ 且 $m = 2$，则区分出来的 $2$ 个子集为 $S1 = {0011, 0110, 1100}$ 和 $S2 = {0101, 1001, 1010}$，它们的大小都是 $3$，因此 $f(2, 2) = 1$，因为只有一个子集的大小是 $2$ 的正整数次幂。

现在，对于给定的正整数 $n$ 和 $m$，你需要计算 $f(n, m)$。

解决方法

下面是求解该问题的步骤：

1. 首先，我们需要枚举所有的二进制串，然后计算其中 $2$ 的正整数次幂的子集个数。
2. 对于长度为 $n + m$ 的二进制串，我们可以使用 $n$ 个 $0$ 和 $m$ 个 $1$ 的排列组合来表示。由于 $2$ 的正整数次幂必须包含 $1$，所以我们只需要考虑 $1$ 的数量是否为 $2$ 的正整数幂即可。
3. 对于二进制串中 $1$ 的数量为 $k$ 的情况，我们只需要统计 $k$ 是否为 $2$ 的正整数次幂即可。
4. 我们可以使用一个变量 $i$ 来代表当前需要考虑的数字，然后计数器 $cnt$ 来统计 $2$ 的正整数次幂的个数。

下面是使用 Python 代码来实现上述解法：

def is_power_of_two(x):
    return x != 0 and (x & (x - 1)) == 0

def f(n, m):
    cnt = 0
    for i in range(n + 1):
        j = n + m - i
        if is_power_of_two(i) and is_power_of_two(j):
            cnt += 1
    return cnt

上述代码中，is_power_of_two 函数用来判断一个数字是否为 $2$ 的正整数次幂，返回值为布尔类型；f 函数用来计算 $f(n, m)$ 的值，返回值为整型。我们使用两个循环来枚举 $0$ 和 $1$ 的个数，然后使用 is_power_of_two 函数来检查它们的数量是否为 $2$ 的正整数次幂。如果是的话，我们就统计一次计数器 $cnt$ 的值。最后，我们返回 $cnt$ 的值作为 $f(n, m)$ 的计算结果。

以上就是求解门| GATE CS 2010 |问题8 的完整解答，感谢阅读。