门| Sudo GATE 2020 Mock III(2019年1月24日)|第35章

本题为Sudo GATE 2020模拟考试第三轮的题目，主要考察对于二分图的理解和熟练应用。

二分图简介

二分图（Bipartite Graph）是图论中一种基本的概念，它的定义如下：

如果一个无向图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得每条边的两个端点都分别处于两个不同的集合（也即是不同颜色的节点之间有连线，相同颜色之间没有连线），那么这个图被称为一个二分图。

二分图具有一些很好的性质，例如二分图上的最大匹配可以通过一个叫作 Hopcroft-Karp Algorithm 的算法在多项式时间复杂度内求解。因此，学会如何判定一个图是否为二分图和如何在二分图上求解某些经典问题，对于程序员来说都是十分有用的一种技能。

题目描述

对于给定的一个无向无权图，判断其是否为二分图。

输入格式为：

第一行输入一个整数 $T$，表示测试用例的数量。

对于每个测试用例：

第一行输入两个整数 $N$ 和 $M$，表示图中的点数和边数。

接下来 $M$ 行，每行输入两个整数 $u$ 和 $v$，表示图中有一条连接结点 $u$ 和结点 $v$ 的边。

输出格式为：

每个测试用例输出一行：

若该图为二分图，则输出字符串 Yes；

若该图不为二分图，则输出字符串 No。

代码实现

这道题目最基础的思想就是使用 DFS或BFS 对于每一个节点进行染色，将其连通的节点涂上不同的颜色，若在图的遍历过程中发现已经染过色的节点中有相邻节点的颜色相同，则说明该图不为二分图，反之则为二分图。

对于本题而言，我们需要遍历每一个节点，并找到与其相邻的所有节点， 不断深度搜索直到染色结束。

以下是 Python 代码实现:

def dfs(graph, node, colors):
    for neighbor in graph[node]:
        if neighbor not in colors:
            colors[neighbor] = 1 - colors[node]
            if not dfs(graph, neighbor, colors):
                return False
        elif colors[neighbor] == colors[node]:
            return False
    return True

def is_bipartite(graph):
    colors = {}
    for node in range(len(graph)):
        if node not in colors:
            colors[node] = 0
            if not dfs(graph, node, colors):
                return 'No'
    return 'Yes'

t = int(input())
for i in range(t):
    n, m = map(int, input().split())
    graph = [[] for _ in range(n)]
    for j in range(m):
        u, v = map(int, input().split())
        graph[u - 1].append(v - 1)
        graph[v - 1].append(u - 1)
    print(is_bipartite(graph))

其中， dfs() 函数实现对节点染色的过程， is_bipartite() 则是对整张图进行统一处理，最后输出对于染色后的结果进行判断的结果。

总结

本题的解法比较基础，主要考察了对于二分图的理解和 DFS/BFS 的使用，可以作为算法初学者进一步掌握相关知识的练习题。