RD Sharma解决方案–第17章增减功能–练习17.1

本篇文章介绍的是RD Sharma书中第12类的第17章增减功能的练习17.1内容，该练习围绕着函数的增减性进行分析和应用。

练习描述

练习17.1要求我们根据给定函数的函数表现，判断其在指定区间的增减性，并能通过图形等形式证明答案的正确性。

具体要求如下：

1. 给定函数f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 3，分别确定其在区间(-∞, -1)，(-1, 0)，(0, 2)，(2, +∞)内的增减性。
2. 解释如何使用函数的导数来判断增减性，并利用此方法求出f(x)增减性的确切位置。
3. 绘制函数的图像，以证明上述答案的正确性。

解决方案

该练习考察的是函数的增减性分析，因此我们需要掌握函数导数与增减性的关系，并能利用导数求取增减性的确切位置。下面是解决该练习的步骤：

1. 求解函数的导数f'(x)，可以方便地使用微积分中的幂函数导数规则。

   f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x
   

2. 因为f'(x)是一个三次多项式函数，因此其增减性是可以判断的。我们可以通过求解f'(x)=0来确定f(x)的极值点和拐点，从而判断出其增减性。

   当f'(x)>0时，f(x)单调递增，当f'(x)<0时，f(x)单调递减。

   f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x-2)(x+1)
   

   因此，f'(x)>0的区间为(-∞,-1)U(2,+∞)，f'(x)<0的区间为(-1,0)U(0,2)。

3. 确定f(x)在各个区间内的增减性。

   1. 当x∈(-∞,-1)时，f(x)单调递减。
   2. 当x∈(-1,0)时，f(x)单调递增。
   3. 当x∈(0,2)时，f(x)单调递减。
   4. 当x∈(2, +∞)时，f(x)单调递增。
   

4. 绘制函数的图像。

   我们可以使用任何一款绘图软件，如Desmos或Matplotlib来绘制该函数的图像，并通过观察来验证我们的结论。下图展示了该函数在x∈[-2, 3]内的图像：

   

总结

本文主要介绍了RD Sharma书中第12类的第17章增减功能的练习17.1，包括求解函数的导数、判断增减性、绘制函数图像等内容。通过学习和实践，我们可以更好地理解函数增减性的概念，并运用到更加复杂的函数分析中。