11类RD Sharma解决方案–第17章组合-练习17.1 |套装2

问题11。如果²⁸ C _2r ： ²⁴ C _2r-4 = 225：11，则找到r。

解决方案：

(28!/(28-2r)!2r!)/(24!/(24-2r+4)!(2r-4)!)=225/11

28x27x26x25/2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)=225/11

28x27x26x25x11=225x(2r)(2r-1)(2r-2)(2r-3)

28x3x26x11=2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)

14x2x3x13x2x11=2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)

14x13x12x11=2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)

2r=14

r=7

问题12.如果^AP中有n C ₄ ， ⁿ C ₅和ⁿ C ₆ ，则找到n。

解决方案：

We know that the A.P series is represented as a,a+d,a+2d,..

=>2.ⁿC₅=ⁿC₄+ⁿC₆

=>2(n!/(n-5)!5!)=(n!/(n-4)!4!)+n!/(n-6)!6!

=>2/(n-5)5=(1/(n-5)(n-4))+(1/30)

=>(2/(n-5)5)-(1/(n-5)(n-4))=1/30

=>(2(n-4)-5)30=(n-5)(n-4)5

=>60n-240-150=(n-5)(n-4)5

=>12n-78=(n-5)(n-4)

=>12n-78=n²-9n+20

=>n²-21n+98=0

=>n²-7n-14n+98=0

=>n(n-7)-14(n-7)=0

=>(n-7)(n-14)=0

=>n=7, 14

问题13。如果²ⁿ C ₃ ： ⁿ C ₂ = 44：3，则找到n。

解决方案：

(2n!/(2n-3)!3!)/(n!/(n-2)!2!)=44/3

2n(2n-1)(2n-2)/3n(n-1)=44/3

2n(2n-1)(2n-2)=44n(n-1)

(2n-1)(2n-2)=22n-22

4n²-6n+2=22n-22

4n²-28n+24=0

n²-7n+6=0

(n-1)(n-6)=0

n=1 , 6

Let n=1

then ²⁽¹⁾C₃:²C₂ is not possible because n

So, n=6.

问题14.如果¹⁶ C _r = ¹⁶ C _{r + 2} ，则找到^r C ₄ 。

解决方案：

16=r+r+2

16=2r+2

14=2r

r=7

=>⁷C₄=7!/3!4!

=5x6x7/3×2

=35

问题15.如果α= ^M C _2，然后找到^α的C ₂的值。

解决方案：

^∝C₂=∝!/(∝-2)!2!

=(∝-1)(∝)/2

=(^mC₂-1)(^mC₂)/2

=(m!/(m-1)!2!-1)(m!/(m-2)!2!)/2

=(m(m-1)-2)(m(m-1))/8

=(m²-m-2)(m(m-1))/8

=(m+1)(m-1)(m-2)m/8

=1/8[(m-2)(m-1)(m)(m+1)]

问题16.证明2n个连续负整数的乘积可被(2n)整除！

解决方案：

Let the 2n consecutive negative integers be -k,-k-1,-k-2,…,-k-(2n-1)

product of 2n consecutive negative integers=-kx-k-1x-k-2x….x-k-(2n-1)

=(-1)²ⁿxkxk+1xk+2x…..xk+(2n-1)

=(-1)²ⁿxkxk+1xk+2x…..xk+(2n-1)x(k-1)!/(k-1)!

=(-1)²ⁿx(k+2n-1)!/(k-1)!

=(-1)²ⁿx(k+2n-1)!(2n)!/(k-1)!(2n)!

=(-1)²ⁿx^k+2n-1C_2nx(2n)!

Therefore the product of 2n consecutive negative integers is divided by (2n)!.

问题17。对于所有正整数n，证明²ⁿ C _n + ²ⁿ C _n-1 = 1/2 [ ^{2n + 2} C _{n + 1} ]。

解决方案：

LHS=²ⁿC_n+²ⁿC_n-1

=2n!/n!(2n-n)!+2n!/(n-1)!(2n-n+1)!

=2n!/n!n!+2n!/(n-1)!(n+1)!

=2n!/n(n-1)!n!+2n!/(n-1)!n!(n+1)

=2n!/n(n+1)(n-1)!n![n+1+n]

=2n!(2n+1)/n(n+1)(n-1)!n!

=(2n+1)!/n!(n+1)!

=(2n+2)(2n+1)!/n!(n+1)!(2n+2)

=(2n+2)!/n!(n+1)!(n+1)2

=(2n+2)!/(n+1)!(n+1)!2

=(2n+2)!/(n+1)!(2n+2-n-1)!2

=1/2[²ⁿ⁺²C_n+1]

= RHS

问题18.证明： ⁴ⁿ C _2n ： ²ⁿ C _n = [1x 3 x 5 x….. x 4n-1]：[1 x 3 x 5 x……x 2n-1] ² 。

解决方案：

LHS=⁴ⁿC_2n/²ⁿC_n

=(4n!/2n!2n!)/(2n!/n!n!)

=[1 x 2 x ……x 4n] x[1 x2x3x….xn]²/[1x2x…x2n]³

=[1x3x5x…4n-1][2x4x6x…4n](n!)(n!)/[1x3x5x…x2n-1]²[2x4x6x…x2n]²(2n!)

=[1x3x5x..x4n-1]2²ⁿ[1x2x3x..2n](n!)(n!)/[1x3x5x…x2n-1]²x2²ⁿ[1x2x3x..xn]²(2n)!

=[1x3x5x…x4n-1]/[1x3x5x2n-1]²

=RHS

问题19：评估

$_{5}^{20}\textrm{C} + \sum_{r=2}^{5}\ _{4}^{25-r}\textrm{C}$

解决方案：

=>²⁰C₅+²⁰C₄+²¹C₄+²²C₄+²³C₄

W.K.T ⁿC_r+ⁿC_r-1=ⁿ⁺¹C_r

=>²¹C₅+²¹C₄+²²C₄+²³C₄

=>²²C₅+²²C₄+²³C₄

=>²³C₅+²³C₄

=> ²⁴C₅

问题20.1令r和n为正整数，使得1 <= r <= n。然后证明以下内容：

ⁿ C _r / ⁿ C _r-1 = n-r + 1 / r

解决方案：

LHS=(n!/r!(n-r)!)/(n!/(r-1)!(n-r+1)!

=(n-r)!(n-r+1)(r-1)!/(n-r)!(r)(r-1)!

=n-r+1/r

=RHS

问题20.2。令r和dn为正整数，使得1 <= r <= n。然后证明以下内容：

nx ^n-1 C _r-1 =(n-r + 1) ⁿ C _r-1

解决方案：

LHS=n(n-1)!/(r-1)!(n-1-r+1)!

=n!/(r-1)!( n-r)!

=n!(n-r+1)/(r-1)!( n-r+1)(n-r)!

=n!(n-r+1)/(r-1)!(n-r+1)!

=(n-r+1)ⁿC_r-1

=RHS

问题20.3令r和n为正整数，使得1 <= r <= n。然后证明以下内容：

ⁿ C _r / ^n-1 C _r-1 = n / r

解决方案：

LHS=(n!/r!(n-r)!)/(n-1)!/(n-r)!(r-1)!

=n(n-1)!(r-1)!(n-r)!/r(r-1)!(n-r)!(n-1)!

=n/r

=RHS

问题20.4。令r和n为正整数，使得1 <= r <= n。然后证明以下内容：

ⁿ C _r +2 x ⁿ C _r-1 + ⁿ C _r-2 = ^{n + 2} C _r 。

解决方案：

W.K.T ⁿC_r+ⁿC_r-1=ⁿ⁺¹C_r

LHS=ⁿC_r+ⁿC_r-1+ⁿC_r-1+ⁿC_r-2

=ⁿ⁺¹C_r+ⁿ⁺¹C_r-1

=ⁿ⁺²C_r

=RHS