第11类RD Sharma解决方案–第17章组合-练习17.3

RD Sharma是印度著名的数学家、作家和教育家，他的著作主要涉及数学和物理学。他的数学书籍涵盖了各个领域，包括代数、几何、三角学以及计算机科学等。《RD Sharma数学解决方案》作为其系列教材的配套解决方案，已经成为印度学生学习数学的主要参考资料。

本篇介绍的是第11类RD Sharma解决方案中的第17章组合-练习17.3部分。此章节主要讲述组合学中排列和组合的相关问题，如何计算排列和组合的问题，以及如何求解相关问题的答案。

练习17.3的主要内容

练习17.3主要包括了一些与组合有关的问题，主要涉及到排列、组合、二项式定理等方面的知识。其中一些问题比较简单，适合初学者练习，另一些问题则需要一定的数学基础才能解决。

下面是一部分练习的示例：

1. 确定5个不同字母和2个相同字母可以排列为多少个不同序列。

2. 在一个12人的班级中选出3个人，有多少种不同的组合方式。

3. 证明二项式定理：$$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n}y^n$$

解决方案

首先需要明确的是，解决组合中排列和组合相关的问题需要掌握一些基本的组合数学知识。这些知识包括：

• 排列：指从$n$个不同元素中选取$m$个元素并进行排序的方案数，表示为$P_n^m$，其中$n \ge m$，计算公式为$P_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$。

• 组合：指从$n$个不同元素中选取$m$个元素但不考虑排序的方案数，表示为$C_n^m$，其中$n \ge m$，计算公式为$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$。

• 二项式定理：指$(x+y)^n$的展开公式，计算结果中每一项的系数就是组合数的形式。

针对上面所述的示例问题，我们可以分别使用上述知识来解决：

1. 确定5个不同字母和2个相同字母可以排列为多少个不同序列。

解决此问题需要分别计算五个不同字母和两个相同字母的排列数，然后将两个排列数相乘即可。

• 五个不同字母的排列数为：$P_5^5=5\times4\times3\times2\times1=120$。

• 两个相同字母的排列数为：$P_2^2=2$。

所以总的不同序列数为$120\times2=240$。

2. 在一个12人的班级中选出3个人，有多少种不同的组合方式。

此问题可以直接计算12个人中选出3个人的组合数，即$C_{12}^3=\frac{12\times11\times10}{3\times2\times1}=220$。

3. 证明二项式定理：$$(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n}y^n$$

证明这个定理需要使用数学归纳法，将$(x+y)^n$的展开式与上述展开式进行对比，证明对于任意正整数$n$都成立。

上述是对第11类RD Sharma解决方案–第17章组合-练习17.3的简要介绍，希望对于需要解决相关组合问题的读者有所帮助。