门|门 CS 1999 |问题 28

简介

这是一道经典的计算机科学问题，又称为“卫星图像切割问题”或“门窗问题”。问题的基本思想是，找到一条垂直或水平的线段，将给定的数据集分成两个子集，使得每个子集中的点都在同一侧，但最大化两个子集中的数据点数量之和。

解法

这个问题可以使用贪心算法和动态规划算法解决，其中动态规划算法的时间复杂度为 $O(n^2)$。思路是，对于每个点 $i$，维护两个数组 $L[i]$ 和 $R[i]$，表示将左侧的点全部分到一侧并将右侧的点全部分到另一侧时，左侧和右侧的点数。因此，有以下递推式：

$L[i] = \max{L[j] + 1 \mid x_j < x_i}$ $R[i] = \max{R[j] + 1 \mid y_j < y_i}$

其中 $x_i$ 和 $y_i$ 分别表示点 $i$ 的横坐标和纵坐标。然后，最大值为 $\max{L[i] + R[i] - 1 \mid 1 \le i \le n}$。

代码示例

n = int(input())
points = []
for _ in range(n):
    x, y = map(int, input().split())
    points.append((x, y))
points.sort()

L = [1] * n
R = [1] * n

for i in range(n):
    for j in range(i):
        if points[j][1] < points[i][1]:
            L[i] = max(L[i], L[j] + 1)
        if points[j][0] < points[i][0]:
            R[i] = max(R[i], R[j] + 1)

ans = max([L[i] + R[i] - 1 for i in range(n)])
print(ans)

总结

门|门 CS 1999 |问题 28 是一道经典的计算机科学问题，使用贪心算法和动态规划算法均可解决。动态规划算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，求解过程中需要维护两个数组，具有较高的空间复杂度。