门 | GATE CS 2012 | 问题 12

简介

本题是在2012年的计算机科学与信息技术资格考试（GATE CS）中出现的问题。本问题涉及编程知识和数据结构算法的应用。

问题描述

给定一个二维正方形网格，其中每个单元格可以是门、墙或空。你的目标是找到离所有门最远的空单元格，并返回到该单元格的最短距离。如果无法到达任何空单元格，则返回-1。

下面是问题示例的网格表示：

X  W  X  X  X
X  D  W  X  X
X  W  X  X  X
X  X  X  W  X
X  X  X  D  X

其中 W 表示墙，D 表示门，X 表示空单元格。

在上述示例网格中，最远的空单元格（标记为 *) 与门（D）之间的最短距离是 5，而所有门之间的最短距离为 2。

问题要求

你需要实现一个函数，接受一个表示网格的二维数组作为输入，计算并返回离所有门最远的空单元格与门之间的最短距离。

以下是函数的函数签名：

int findFarthestEmpty(int[][] grid)

输入

输入是一个二维数组 grid，表示网格。数组的维度为 n*n（1 ≤ n ≤ 100），每个单元格可以取以下值之一：

• 'W'：代表墙
• 'D'：代表门
• 'X'：代表空单元格

输出

• 如果无法到达任何空单元格，则返回 -1
• 否则，返回到离所有门最远的空单元格的最短距离

示例

输入：

[
    ['X', 'W', 'X', 'X', 'X'],
    ['X', 'D', 'W', 'X', 'X'],
    ['X', 'W', 'X', 'X', 'X'],
    ['X', 'X', 'X', 'W', 'X'],
    ['X', 'X', 'X', 'D', 'X']
]

输出：

5

解析

可以使用广度优先搜索（BFS）来解决该问题。首先，通过遍历输入数组，找到所有的门（'D'）和空单元格（'X'）。然后，以所有门为起点，进行BFS搜索，并记录每个空单元格到门的最短距离。最后，找出所有最短距离中的最大值即可。

以下是基于BFS的伪代码：

function findFarthestEmpty(grid):
    maxDistance = 0
    queue = empty queue
    distances = empty dictionary
    
    for i = 0 to n-1:
        for j = 0 to n-1:
            if grid[i][j] == 'D':
                enqueue(queue, (i, j, 0))
                distances[(i, j)] = 0
    
    while queue is not empty:
        (x, y, distance) = dequeue(queue)
        maxDistance = max(maxDistance, distance)
        
        for each valid neighbor (nx, ny):
            if grid[nx][ny] == 'X' and (nx, ny) not in distances:
                enqueue(queue, (nx, ny, distance + 1))
                distances[(nx, ny)] = distance + 1
    
    if len(distances) == 0:
        return -1
    else:
        return maxDistance

注意，上述伪代码中的 enqueue 和 dequeue 分别表示入队和出队操作。

复杂度分析

• 时间复杂度：该算法使用BFS遍历每个节点，因此时间复杂度为 O(n^2)。
• 空间复杂度：除了输入网格外，算法还使用了一个队列和一个字典，因此空间复杂度为 O(n^2)。

结论

该问题要求找到离所有门最远的空单元格与门之间的最短距离。通过使用广度优先搜索算法，你可以解决这个问题。希望通过本题的介绍和分析，你能够更好地理解并应用类似的算法来解决相关问题。