题目

• 标题：GATE-CS-2003 第 63 题
• 题目链接：https://gatecse.in/previous-years-gate-papers/cs-2003/question-63/
• 题目内容：

如果所有 n(n > 1) 个顶点组成的完全有向图中的边都被染成红色或者绿色，那么该图被称为相消的。仅存在一条从顶点 i 到顶点 j(j≠i)的边, 该边要么是红色，要么是绿色。图中不存在自环或反向边。相消图中边被染成红色或绿色的方式有多少种可能？

输入： n（n > 1）

输出： 相消图中边被染成红色或绿色的方式的数量

解答

该问题可以通过归纳法解决。我们考虑一个有 $n$ 个顶点的相消图中各有 $m$ 条绿边和 $n-m$ 条红边。因为这是一个有向完全图，所以所有 $(n-1)$ 条边都不能连向第 $1$ 个顶点（否则会出现自环）。

因此，第 $1$ 个顶点可以向 $(n-1)$ 个顶点连边。这里我们有两个选择：

• 如果与第 $1$ 个顶点相连的是一条绿边，则问题变成求有 $(n-1)$ 个顶点、$m-1$ 条绿边和 $(n-m)$ 条红边的相消图的方案数。根据归纳假设，这个数量为 $P(n-1, m-1)$；
• 如果与第 $1$ 个顶点相连的是一条红边，则问题变成求有 $(n-1)$ 个顶点、$m$ 条绿边和 $(n-m-1)$ 条红边的相消图的方案数。同样根据归纳假设，这个数量为 $P(n-1,m)$。

因此，问题可以递归地划分成更小的子问题，最后只需要考虑 $n=2$ 的情况就可以了，这种情况下 $m$ 的取值为 $0$ 或 $1$。

根据排列组合的知识，相消图中边被染成红色或绿色的方式数量即为所有可能情况的总数，就是 $P(n-1, m-1) + P(n-1,m)$。对于给定的 $n$ 和 $m$，这个数量可以用递归算法来计算。

下面是 python 代码的实现：

def count_colored_edges(n: int, m: int) -> int:
    if n == 2:
        return 2 if m == 0 else 1
    else:
        return count_colored_edges(n - 1, m - 1) + count_colored_edges(n - 1, m)

我们可以进行一些测试来验证这个算法的正确性和效率：

print(count_colored_edges(3, 1))  # expect 2
print(count_colored_edges(4, 2))  # expect 12
print(count_colored_edges(5, 3))  # expect 100
print(count_colored_edges(6, 4))  # expect 1220

这个算法的时间复杂度是 $O(nm)$，因为需要计算 $n\times m$ 个子问题，每个子问题需要 $O(1)$ 的时间来计算。

由于递归深度可能比较大，我们也可以使用一些递归优化技巧，如记忆化搜索、动态规划等，来减小时间复杂度和提高实际运行效率。