第 11 类 RD Sharma 解决方案 – 第 31 章导数 – 练习 31.4

RD Sharma是印度的一位杰出数学家，他所写的数学教科书被广泛用于印度学生的数学教育中。其中，第 11 类RD Sharma教材的第 31 章涵盖了导数的内容，而练习 31.4具体探讨了这个主题。

为方便学生学习和掌握该题目，许多程序员编写了RD Sharma解决方案。以下是其中一个例子，使用markdown格式呈现：

练习 31.4

题目

如果 $y=\frac{u+v}{u-v}$，则求 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$

解决方案

由于 $y$ 是两个函数 $u$ 和 $v$ 的商，因此可以使用商规则来求导数。具体步骤如下：

1. 将 $y$ 表示为 $u$ 和 $v$ 的函数形式：

   $y=f(u,v)=\frac{u+v}{u-v}$

2. 计算 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial v}$：

   $\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{(u-v)-(u+v)}{(u-v)^{2}}=-\frac{2v}{(u-v)^{2}}$

   $\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{(u-v)+(u+v)}{(u-v)^{2}}=\frac{2u}{(u-v)^{2}}$

3. 计算 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$：

   $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial f}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}+\frac{\partial f}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}$

   $=\frac{(u-v)^{2}(-2v)\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}+(u-v)^{2}(2u)\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}}{(u-v)^{4}}$

   $=\frac{-2v\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}+2u\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}}{(u-v)^{2}}$

4. 计算 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$：

   $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)$

   $=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{-2v\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}+2u\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}}{(u-v)^{2}}\right)$

   $=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(-2v\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}+2u\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}\right)\cdot (u-v)^{2}-(-2v\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}+2u\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(u-v)^{2}}{(u-v)^{4}}$

   $=\frac{-2v\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{d} x^{2}}+2\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}-2u\frac{\mathrm{d}^{2} v}{\mathrm{d} x^{2}}-2\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}\cdot 2(u-v)}{(u-v)^{3}}$

   $=\frac{-2v\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{d} x^{2}}-2u\frac{\mathrm{d}^{2} v}{\mathrm{d} x^{2}}+4\left(\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\right)^{2}+4\left(\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}\right)^{2}}{(u-v)^{3}}$

因此，$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}=\frac{-2v\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{d} x^{2}}-2u\frac{\mathrm{d}^{2} v}{\mathrm{d} x^{2}}+4\left(\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}\right)^{2}+4\left(\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}\right)^{2}}{(u-v)^{3}}$。

至此，我们成功求得了 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 的表达式。