题目描述

给定一个 $n \times m$ 的01矩阵， 每一列是一个长度为 $n$ 的01串， 每一行是一个长度为 $m$ 的01串， 其中 $n, m \in [1, 20]$, 要求找到一个 $n \times m$ 的01矩阵， 使得其每一行每一列的01串均为输入矩阵的某一行或某一列，并且要求该矩阵的每一行和每一列中的1的个数相等。

判断是否存在这样的01矩阵，如果存在，输出任意一种即可。

解题思路

题目要求我们给出一个满足条件的01矩阵，要使得每一行和每一列中的1的个数相等，这就是一个典型的搜索问题。

我们可以从第一行开始，对每一列进行搜索，尝试将该列填成该矩阵中的某一行，如果成功，则继续搜索下一列，否则回溯到上一列重新搜索。在此过程中，我们可以用两个数组 $row$ 和 $col$ 来记录每一行和每一列已经填上的1的个数，以便在搜索的过程中保证每一行和每一列中的1的个数相等。

当我们填完最后一列时，判断当前矩阵是否符合要求即可，如果符合则返回该矩阵，否则继续搜索。

代码如下：

def dfs(row, col, matrix):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    for j in range(m):
        # 尝试将第j列填成某一行
        for i in range(n):
            if matrix[i] == col[j]:
                # 如果该行已经使用，则继续尝试下一行
                if row[i] == m // 2:
                    continue
                # 该行可以使用，则尝试填入该列
                row[i] += 1
                for k in range(n):
                    if matrix[k][j] == '0' and row[k] < m // 2 and col[j].count('1') < m // 2:
                        matrix[k] = matrix[k][:j] + '1' + matrix[k][j+1:]
                        col[j] = col[j][:i] + '1' + col[j][i+1:]
                        if dfs(row, col, matrix):
                            return matrix
                        matrix[k] = matrix[k][:j] + '0' + matrix[k][j+1:]
                        col[j] = col[j][:i] + '0' + col[j][i+1:]
                row[i] -= 1
        return None

def find_matrix(matrix):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    row, col = [0 for _ in range(n)], [0 for _ in range(m)]
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if matrix[i][j] == '1':
                row[i] += 1
                col[j] += 1
    # 判断每一行和每一列的1的个数是否相等
    if row != col:
        return None
    # 从第一列开始搜索
    return dfs(row, col, matrix)

总结

本题是一道搜索题，需要实现回溯算法并进行优化，要注意每一行、每一列的1的个数相等的问题。值得一提的是，在回溯的过程中，我们可以通过修改字符串的某一位来完成对1的计数，而不需要使用额外的数组来记录。