第 12 类 RD Sharma 解决方案 – 第 22 章微分方程 – 练习 22.5 (设置 1)

介绍

RD Sharma是印度最著名的数学家之一，他的数学书籍被广泛使用，特别是在印度的教育系统中。RD Sharma的解决方案提供了各种各样的问题的解决方案，从初中到高中的数学问题都有经过深入的解释和解决方法。本篇主题介绍的是RD Sharma的微分方程解决方案的一部分，是第22章中的练习22.5（设置1）。

练习22.5 (设置 1)

本练习是在微分方程的应用方面中，介绍了一个漏斗的问题，题目如下：

一个漏斗的高度为15 cm，上半径为8 cm，下半径为2 cm，装满水后从小口流出。试求从漏斗口流出水的速度。

解题步骤

1. 假设从漏斗口流出的水的体积为 V，则

   V = (1/3)πh(R1^2 + R1R2 + R2^2)

   其中，h表示漏斗中心线到小口的距离，R1和R2表示上半径和下半径

2. 水的质量可以表示为

   m = ρV

   其中，ρ表示水的密度

3. 水的重力势能可以表示为

   U = mgh

   其中，g表示重力加速度

4. 水分子从小口流出的动能可以表示为

   KE = (1/2)mv^2

   其中，v表示流出水的速度

5. 根据能量守恒定理，可以得到

   mgh = (1/2)mv^2

6. 将步骤 1~5 中的公式代入，可以得到

   v = sqrt(2gh(R1^2 + R1R2 + R2^2)/(R1^2 + R2^2 + R1R2/3))

7. 将具体数值代入，可以得到流出水的速度约为 5.7704 cm/s。

代码实现

1. 假设从漏斗口流出的水的体积为 V，则

   V = (1/3)πh(R1^2 + R1R2 + R2^2)

   其中，h表示漏斗中心线到小口的距离，R1和R2表示上半径和下半径

2. 水的质量可以表示为

   m = ρV

   其中，ρ表示水的密度

3. 水的重力势能可以表示为

   U = mgh

   其中，g表示重力加速度

4. 水分子从小口流出的动能可以表示为

   KE = (1/2)mv^2

   其中，v表示流出水的速度

5. 根据能量守恒定理，可以得到

   mgh = (1/2)mv^2

6. 将步骤 1~5 中的公式代入，可以得到

   v = sqrt(2gh(R1^2 + R1R2 + R2^2)/(R1^2 + R2^2 + R1R2/3))

7. 将具体数值代入，可以得到流出水的速度约为 5.7704 cm/s。