第 12 类 RD Sharma 解 – 第 22 章微分方程 – 练习 22.3 |设置 2

问题 11：证明 y=(cx)/(1+cx) 是微分方程的解。

(1+x ² )(dy/dx)+(1+y ² )=0

解决方案：

We have,

 y=(c-x)/(1+cx)                (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

$\frac{dy}{dx}=\frac{(-1)(1+cx)-(c)(c-x)}{(1+cx)^2}$

dy/dx=(-1-cx+cx-c²)/(1+cx)²

dy/dx=-(c²+1)/(1+cx²)²

L.H.S,

(1+x²)(dy/dx)+(1+y²)

=(1+x2)[-(c2+1)/(1+cx2)2]+[1+(c-x)²/(1+cx)²]

=$-\frac{(1+c^2)(1+x^2)}{(1+cx)^2}+[\frac{(1+cx)^2+(c-x)^2}{(1+cx)^2}]$

Simplify the above equation,

=0/(1+cx)²

=0

So, (1+x²)(dy/dx)+(1+y²)=0

问题 12：证明 y=e ^x (Acosx+Bsinx) 是微分方程的解。

d ² y/dx ² -2(dy/dx)+2y= 0

解决方案：

we have,

y=e^x(Acosx+Bsinx)               (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=e^x(Acosx+Bsinx)+e^x(-Asinx+Bcosx)              (ii)

dy/dx=e^x[(A+B)cosx-(A-B)sinx]                   (iii)

Again differentiating equation (ii)  w.r.t x,

 d²y/dx² =e^x(Acosx+Bsinx)+e^x(-Asinx+Bcosx)+e^x(-Asinx+Bcosx)+e^x(-Acosx-Bsinx)

d²y/dx²=2e^x[Bcosx-Asinx]          (iv)

d2y/dx2=2e^x[(A+B)cosx-(A-B)sinx] -2e^x(Acosx+Bsinx)

d²y/dx²=2(dy/dx)-2y

d²y/dx²-2(dy/dx)+2y= 0

问题 13：验证 y=cx+2c ²是微分方程的解。

2(dy/dx) ² +x(dy/dx)-y=0

解决方案：

we have,

y=cx+2c²                (i) 

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=c            (ii)

L.H.S,

2(dy/dx)²+x(dy/dx)-y=2(c)² +x(c)-cx+2c²

=0

问题 14：验证 y=-x-1 是微分方程的解。

(yx)dy-(y ² -x ² )dx=0

解决方案：

we have,

y=-x-1             (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=-1

L.H.S,

=(y-x)dy-(y²-x²)dx

=(y-x)(dy/dx)-(y²-x²)

=(-x-1-x)(-1)-[(-x-1)²-x²]

=(2x+1)-(x²+2x+1-x²)

=(x²-x²+2x-2x-1+1)

=0

问题 15：验证 y ² =4a(x+a) 是微分方程的解。

y[1-(dy/dx) ² ]=2x(dy/dx)

解决方案：

we have,

y²=4a(x+a)             (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

2y(dy/dx)=4a

(dy/dx)=(2a/y)

L.H.S,

=y[1-(dy/dx)²]

=y[1-(2a/y)²] 

=y[1-(4a²/y²)] 

=y[(y²-4a²)/y²]

=(4a(x+a)-4a²)/y

=(4ax+4a²-4a²)/y  

=[2x(2a)]/y

=2x(dy/dx)

=R.H.S

问题 16：验证 y=ce ^{tan-1 x}是微分方程的解。

(1+x ² )(d ² y/dx ² )+(2x-1)(dy/dx)=0

解决方案：

we have,

y=ce^{tan-1 x}                 (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=ce^{tan-1 x} *(1/1+x²)   

(1+x2)(dy/dx)=y               (ii)

Again differentiating equation (ii)  w.r.t x,

2x(dy/dx)+(1+x²)d²y/dx²=dy/dx

(2x-1)(dy/dx)+(1+x²)d²y/dx²=0

问题 17：验证 y= ^{em cos-1 x}是微分方程的解。

(1-x ² )(d ² y/dx ² )-x(dy/dx)-m ² y=0

解决方案：

we have,

y=e^{m cos-1 x}                (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=$\frac{me^mcos^{-1}x}{-\sqrt{1-x^2}}$

dy/dx=$\frac{-my}{\sqrt{1-x^2}}$                (ii)

Again differentiating equation (ii)  w.r.t x,

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\sqrt{(1-x^2})(-m\frac{dy}{dx})-(-my)\frac{(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}}{(1-x^2)}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{(-my)(-m)-x\frac{dy}{dx}}{(1-x^2)}$

(1-x²)d²y/dx²=m²y-xdy/dx

(1-x²)d²y/dx²-m²y-xdy/dx=0

问题 18：验证 y=log(x+1/√(x ² +a ² )) ²是微分方程的解。

(a ² +x ² )d ² y/dx ² +x(dy/dx)=0

解决方案：

we have,

y=log(x+1/√(x²+a²))²              (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=$\frac{1}{(x+\sqrt{a^2+x^2})^2}*2(x+\sqrt{a^2+x^2})*\frac{d}{dx}(x+\sqrt{a^2+x^2}))$

dy/dx=$\frac{2}{(x+\sqrt{a^2+x^2})}*(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+a^2}})$

dy/dx=$\frac{2}{(x+\sqrt{x^2+a^2})}\frac{(x+\sqrt{x^2+a^2})}{2\sqrt{x^2+a^2}}$

$\sqrt{x^2+a^2}(\frac{dy}{dx})=1$                    (ii)

Again differentiating equation (ii)  w.r.t x,

(√x²+a²)d²y/dx²+(1/(2√x²+a²))*(2x)*(dy/dx)=0

(a²+x²)d²y/dx²+x(dy/dx)=0

问题 19：证明 y=2(x ² -1)+ce ^-x2的微分方程是 解决方案

dy/dx+2xy=4x ³

解决方案：

we have,

y=2(x²-1)+ce^-x2                (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=4x+ce^-x2(-2x)

dy/dx=4x-2cxe^-x2                    (ii)

L.H.S,

=dy/dx+2xy

=4x-2cxe^-x2 -2x(y=2(x²-1)+ce^-x2   

=4x-2cxe^-x2+4x³-4x+2xce^-x2

=0

问题 20：证明 y=e ^-x +ax+c 是微分方程的解。

e ^x d ² y/dx ² =1

解决方案：

We have,

 y=e^-x+ax+c                       (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=-e^-x+a                  (ii)

Again differentiating equation (ii)  w.r.t x,

d²y/dx²=e^-1

(1/e^-1)d²y/dx²=1

e^xd²y/dx²=1

问题 21：对于以下每个微分方程，验证伴随函数是上述域中的解。

(i)函数， y=ax ，微分方程， x(dy/dx)=y

解决方案：

We have,

y=ax                     (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=a                  (ii)

From equation (i) a=(y/x)

Putting the value of a in equation (i)

(dy/dx)=a

(dy/dx)=(y/x)

x(dy/dx)=y 

(ii)函数， y=±√(a ² -x ² )，微分方程： x+y( dy/dx)=0  

解决方案：

we have,

y=±√(a²-x²)                     (i)

Squaring both sides, we have

y²=(a²-x²)

2y(dy/dx)=-2x

x+y(dy/dx)=0 

(iii)函数， y=a/(x+a)，微分方程， y+x(dy/dx)=y ²

解决方案：

We have,

 y=a/(x+a)                 (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=a(-1)/(x+a)²   

dy/dx=-a/(x+a)²   

L.H.S,

 =y+x(dy/dx)

=a/(x+a)-ax/(x+a)² 

=(-ax+ax+a²)/(x+a)²

=a²/(x+a)²

y²

(iv)函数， y=ax+b+1/2x，微分方程， x ³ d ² y/dx ² =1

解决方案：

We have,

y=ax+b+1/2x                 (i)

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=a+1/(-2x²)

dy/dx=a-1/2x²                              (ii)

Again differentiating equation (ii)  w.r.t x,

d²y/dx²=0-(-2)/(2x³)

d²y/dx²=1/x³

x³d²y/dx²=1

(v)函数, y=(1/4)*(x±a) ² ,微分方程, y=(dy/dx) ²

解决方案：

We have,

y=(1/4)*(x±a)²

Differentiating equation (i)  w.r.t x,

dy/dx=(1/4)*2(x±a)

Squaring both side, we have

(dy/dx)²=(1/4)*(x±a)2

(dy/dx)²=y