第12类RD Sharma解 – 第22章微分方程 – 练习22.6

在本练习中，我们将探讨微分方程的一些应用。我们将学习如何解决一些简单的微分方程问题，并计算它们的特定解。我们还将探讨逐步解决微分方程的方法。

取值

在本练习中，我们需要使用以下基本概念：

• 微分方程
• 可分离变量方程
• 齐次方程
• 线性方程
• 一阶方程

解决微分方程

解决微分方程需要考虑几个步骤：

1. 查找问题的微分方程。
2. 将微分方程转化为标准形式。
3. 使用适当的技术来解决微分方程。
4. 使用给定初始条件计算特定解。

下面是一个例子来演示这个过程：

例1

求解微分方程 $y\prime = -y$，并计算 $y(0)=2$ 时的特定解。

解：

1. 我们有一个一阶线性方程 $y\prime + y = 0$。
2. 该方程是可以分离的，因为我们可以写成 $dy/y = -dx$。
3. 对两边积分，得到 $\ln|y| = -x + c$，其中 $c$ 是一个常数。
4. 将初始条件 $y(0)=2$ 代入上面的方程，得到 $\ln|2| = c$，因此 $c = \ln 2$。
5. 将 $c$ 的值代入 $\ln|y| = -x + c$，得到 $\ln|y| = -x + \ln 2$，所以 $|y| = e^{-x+\ln2}$。
6. 由于 $y(0) > 0$，因此我们可以得出 $y(x) = e^{-x+\ln2} = 2e^{-x}$。

因此，我们得到了特定解 $y(x) = 2e^{-x}$。

逐步解决微分方程

许多微分方程需要使用逐步解决的方法才能解决。下面是一个例子，演示了这个过程：

例2

解决微分方程 $y\prime + 2y = e^{-x}$。

解：

1. 首先，我们需要找到 $y_h$，它是齐次方程 $y\prime + 2y = 0$ 的一般解。$y_h$ 的形式是 $y_h = Ae^{-2x}$，其中 $A$ 是任意常数。
2. 然后，我们需要找到 $y_p$，它是非齐次方程 $y\prime + 2y = e^{-x}$ 的一个特殊解。我们可以猜 $y_p = Be^{-x}$，其中 $B$ 是一个未知常数。
3. 将 $y_p$ 代入方程 $y\prime + 2y = e^{-x}$ 中，得到 $-Be^{-x}+2Be^{-x}=e^{-x}$。
4. 解决上面的方程，得到 $B = -1/3$。
5. 因此，非齐次方程 $y\prime + 2y = e^{-x}$ 的一个特殊解是 $y_p = -e^{-x}/3$。
6. 最终解是 $y = y_h + y_p = Ae^{-2x}-e^{-x}/3$。

因此，我们已经解决了方程 $y\prime + 2y = e^{-x}$。