第 12 类 RD Sharma 解决方案 – 第 22 章微分方程 – 练习 22.2 |设置 1

简介

RD Sharma是印度著名数学家，其编写的数学教材深受印度学生和教师的喜欢，并逐渐成为全球范围内被广泛使用的优秀数学教材之一。

其中，RD Sharma的微积分教材尤其受到大家的欢迎。本篇介绍的是该教材中第 12 类的第 22 章微分方程中的练习 22.2。

练习 22.2

本练习主要涉及求解一阶微分方程的经典方法，包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程等。具体题目如下：

1. 求解微分方程 $2y\frac{dy}{dx}=(1+x)\sqrt{1+y^2}$。
2. 求解微分方程 $y\frac{dy}{dx}=\sqrt{x^2-y^2}$。
3. 求解微分方程 $(x+y)dx+dy=0$。
4. 求解微分方程 $(e^x\sin y-1)dx+e^x\cos ydy=0$。

代码片段

## 解答

1. 原微分方程可化为 $\frac{2y}{\sqrt{1+y^2}}dy=(1+x)dx$，两边同时积分得
$$
\begin{aligned}
&\int\frac{2y}{\sqrt{1+y^2}}dy=\int(1+x)dx\\
\Rightarrow &\sqrt{1+y^2}=x+\frac{y^2}{2}+C\\
\Rightarrow &y=\sqrt{(x+\frac{y^2}{2}+C)^2-1}-x-\frac{y^2}{2}-C
\end{aligned}
$$
其中 $C$ 为常数。

2. 令 $y=x\sin\theta$，则 $\frac{dy}{dx}=\sin\theta+x\cos\theta\frac{d\theta}{dx}$，代入原微分方程得
$$
\begin{aligned}
&x\sin\theta(\sin\theta+x\cos\theta\frac{d\theta}{dx})=\sqrt{x^2-x^2\sin^2\theta}\\
\Rightarrow &\cos^2\theta\frac{dx}{d\theta}=-\sqrt{x^2-x^2\sin^2\theta}\\
\Rightarrow &\cos^2\theta d\theta=-\frac{dx}{\sqrt{x^2-x^2\sin^2\theta}}\\
\Rightarrow &\cos^2\theta d\theta=-\frac{dx}{\left|x\cos\theta\right|}
\end{aligned}
$$
分离变量并积分得
$$
\begin{aligned}
&\int\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta=-\int\frac{dx}{\left|x\cos\theta\right|}\\
\Rightarrow &\tan\theta=\ln\left|\frac{x}{\cos\theta}\right|+C
\end{aligned}
$$
将 $\theta$ 代换回 $y$，得到原微分方程的通解为
$$
\begin{aligned}
&y=x\sin(\ln\left|\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}\right|+C)\\
\end{aligned}
$$
其中 $C$ 为常数。

3. 原微分方程可化为 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x+y}{y}$，移项得
$$
\begin{aligned}
&ydy+(x+y)dx=0
\end{aligned}
$$
两边同时积分得
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}x^2+xy=C\\
\end{aligned}
$$
其中 $C$ 为常数，即为原微分方程的通解。

4. 原微分方程为一阶线性微分方程，可以通过积分因子 $\mu=e^{\int e^x\cos ydx}=e^{e^x\sin y}$ 将其化为可求解的形式，具体过程如下：
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial(\mu y)}{\partial x}+\frac{\partial(\mu)}{\partial y}e^x\sin y=0\\
\Rightarrow &\frac{\partial(\mu y)}{\partial x}+e^x\mu\sin y=0\\
\Rightarrow &\mu y=\int e^{-\int e^x\sin ydy}dx+C\\
\Rightarrow &\mu y=\int e^{-e^x\cos y}dx+C\\
\end{aligned}
$$
该式是原微分方程的通解，其中 $C$ 为常数。