算法测验 | SP2竞赛1 | 第47章

本文介绍了 SP2 竞赛第 47 章中涉及的算法测验相关内容。该竞赛主要考察参赛者对于算法和数据结构的理解和应用能力。

竞赛题目概述

SP2 竞赛第 47 章中包含两道算法测验题目，分别是：

1. 求最小生成树
2. 求最长公共子序列

其中，第一题通过 Kruskal 或 Prim 算法求解最小生成树；第二题通过动态规划算法求解两个字符串的最长公共子序列。

算法介绍

Kruskal 算法

Kruskal 算法是求解图的最小生成树的一种经典算法。其主要思想是：将图中的每条边按照权重从小到大排序，然后依次加入最小生成树中，当加入一条边后出现环时，舍弃该边，直到选取了 V-1 条边为止。

Kruskal 算法的时间复杂度为 O(E log E)，其中 E 为边的数量。

下面是 Kruskal 算法的 Python 代码实现：

def kruskal(graph):
    mst = []
    parent = {v: v for v in graph.keys()}
    edges = sorted([(w, u, v) for u in graph for v, w in graph[u]])
    for w, u, v in edges:
        root_u, root_v = find(parent, u), find(parent, v)
        if root_u != root_v:
            mst.append((u, v, w))
            parent[root_u] = root_v
    return mst

def find(parent, v):
    while v != parent[v]:
        v = parent[v]
    return v

Prim 算法

Prim 算法也是求解图的最小生成树的一种经典算法。其主要思想是：从任意顶点开始，每次选择一个与当前树相邻的、权值最小的顶点加入树中。

Prim 算法的时间复杂度为 O(E log V)，其中 E 为边数，V 为顶点数。

下面是 Prim 算法的 Python 代码实现：

import heapq

def prim(graph, start):
    visited = set()
    mst = []
    heap = [(0, start)]
    while heap:
        w, u = heapq.heappop(heap)
        if u not in visited:
            visited.add(u)
            mst.append((u, w))
            for v, w in graph[u]:
                if v not in visited:
                    heapq.heappush(heap, (w, v))
    return mst

最长公共子序列

最长公共子序列是求解两个序列的公共子序列中最长的一个序列。其主要思想是：对于两个序列 X 和 Y，定义一个数组 C，其中 C[i][j] 表示 X[:i] 和 Y[:j] 的最长公共子序列的长度。则有以下递推式：

C[0][j] = 0, C[i][0] = 0 C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1, if X[i-1] == Y[j-1] C[i][j] = max(C[i-1][j], C[i][j-1]), otherwise

最长公共子序列的时间复杂度为 O(nm)，其中 n 和 m 分别为两个序列的长度。

下面是最长公共子序列的 Python 代码实现：

def lcs(X, Y):
    m, n = len(X), len(Y)
    C = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if X[i - 1] == Y[j - 1]:
                C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                C[i][j] = max(C[i - 1][j], C[i][j - 1])
    return C[m][n]

结语

本文介绍了 SP2 竞赛第 47 章中两道算法测验题目以及它们的算法实现。通过对这些算法的掌握和应用，可以提升自己的算法和数据结构能力。